اتسعت دائرة الأعداد أكثر من مرة. فَعُرفت بداية مجموعة الأعداد الطبيعية naturalثم مجموعة الأعداد الصحيحة integersالتي تحوي ومع تعقد المسائل نسبياً أضحت هاتان المجموعتان قاصرتين عن حل معادلات من الشكل ، حيث n وm عددان طبيعيان، لذلك كان لا بدّ من توسيع الأعداد الطبيعية والصحيحة إلى مجموعة الأعداد المُنْطَقَة (الكسرية) rationalالأكثر اتساعاً، والتي تتكون من الأعداد الصحيحة وجميع الكسور الموجبة والسالبة للأعداد الصحيحة في صورة بسط ومقام.
