فضاء متجهي

Vector space - Espace vectoriel

الفضاء المتّجهي

 

الفضاء المتّجهي vector space (الشعاعي) V على حقل F، ويدعوه بعضهم الفضاء الخطّي linear space، هو مجموعة غير خالية V مزوّدة بقانوني تشكيل، أحدهما داخلي والآخر خارجي، يحققان شروطاً معينة.

إن مفهوم الفضاء المتجهي، وليس بالتحديد الفضاء الإقليدي[ر]، هو حجر الأساس في بناء الجبر الخطي linear algebra. وإن كلمتي متجه (شعاع) vector وعدد scalar كلمتان مألوفتان. لكنَّ «العدد» فيما يأتي يعني أي عنصر من عناصر الحقل F، وليس بالتحديد من حقل الأعداد الحقيقية R، و«المتجه» هو أي عنصر من عناصر الفضاء المتجهي V، وليس بالضرورة متجهاً بالمعنى الفيزيائي.

من السمات المميّزة للرياضيات المعاصرة كونها تعنى بصورة أساسية بدراسة البنى الجبرية algebraic structures. والبنية الجبرية هي مجموعة غير خالية empty set non مزودة بعدد منته من العمليات الثنائية binary operations أي قوانين التشكيلlaws of composition . ويرمز الجداء الديكارتي A. B إلى مجموعة كل الأزواج المرتبة (a,b) التي مسقطها الأول والثاني من A والثاني من B أي إن:

A. b = {(a, b) : a ε A, b ε B}

وقانون التشكيل على مجموعة A قد يكون:

1) داخلياً، وهو قاعدة (قانون) يعين من أجل كل زوج مرتب (a,b)من عناصر A. A عنصراً من A. وبتعبير رياضي هو تطبيق (دالة) من A. A إلى A.

2) خارجياً، وهو قاعدة على A، يأخذ مؤثراته من مجموعة أخرى B، يعين من أجل كل زوج مرتب (λ , a) من عناصر B.A عنصراً من A. وبتعبير رياضي هو تطبيق من B.A إلى A.

الفضاء المتجهي على حقل F هو مجموعة غير خالية V مزودة بقانون تشكيل داخلي (يقال له الجمع addition، ويرمز له +، أي V.V → V: +)، وقانون تشكيل خارجي (يقال له الضرب multiplication بعنصر من الحقل F، ويرمز له . ، أي : F.V → V .)، بحيث تتحقق الفرضيات الثمان الآتية وذلك مهما تكن u, y, w من V ومهما تكن  β, α من F:

1) u + v = v + u (الخاصة التبديلية)

2) u + (v +w) = (u + v) + w (الخاصة التجميعية)

3) يوجد عنصر e من V بحيث u + e = u (العنصر الحيادي)

4) يوجد u′ من v بحيث u + u′ = e (وجود النظير)

(أي إن (+,V) زمرة تبديلية)

5) α.. (u + v) = α. .u + β. v

6) (α + β). u = α.. u + β. v

7) (α β). u = α.. (β. u)

8) u1. u = u (حيث 1 هو حيادي الضرب في الحقل F)

ويرمز عادة للفضاء المتجهي بالثلاثية المرتبة (.، + ، v)أو V فقط عندما لا يخشى الالتباس، أو V(F) للدلالة على أن V معرف على الحقل F.

تسمى عناصر V متجهات، وعناصر F أعداداً.

يرمز عادة لحيادي الجمع المتجهي بالرمز o (وهو متجه يدعى المتجه الصفري)، وهو مختلف عن v0، صفر الحقل F (حيادي الجمع في F). كما أن الجمع + في الفضاء المتجهي V غير عملية الجمع + في الحقل F. فمثلاً (α + β) في الفرضية السادسة، جمع عددين من F، في حين α. u + β. v جمع متجهين من V.

إنَّ عملية الطرح في الفضاء V يمكن تعريفها كما يأتي:

u - v = u + (- v), ∀ u, v Î E

حيث (-v) نظير v (inverse) بالنسبة لعملية الجمع في V.

يدعى F أحيانًا حقل المؤثرات.

مثال (1): لتكن

u = (x₁, x₂, …, x_n)

v = (y₁, y₂, …, y_n)

حيث x_i , y_i ∈ F.

ولتكن عمليتا الجمع والضرب كما يأتي:

u + v = (x₁ + y₁, x₂ + y₂, …, x_n + y_n)

a. u = (ax₁ , ax₂ , …, ax_n)

إن V = Fⁿ حيث Fⁿ = {(x₁, …, x_n) : x_n ∈ F} مع عمليتي الضرب والجمع هاتين تشكل فضاءً متجهياً على F.

مثال (2): لتكن V = Fⁿ = {(x₁, x₂, …, x_n) : x_i∈ F}}، كما في المثال السابق، مع عمليتي الجمع والضرب التاليتين:

u + v = (x₁ + y₁, x₂ + y₂, …, x_n + y_n)

a. u = (ax₁ , 0 , …, 0 ) ; a Î F

إن الفرضيات السبع الأولى للفضاء المتجهي محققة، في حين:

v1.u = (x₁ , 0 , …, 0 ) ≠ u

ومن ثمَّ V ليست فضاءً متجهياً.

مثال (3): إن M_m,_n(F) مجموعة كل المصفوفات ذات المرتبة mn المعرفة على الحقل F مع عمليتي جمع المصفوفات وضربها بعدد، تشكل فضاءً متجهياً على F.

مثال (4): الحقل F يشكل فضاءً متجهياً على نفسه، إذ إن الفرضيات الثمان في تعريف الفضاء المتجهي، تصبح بعضاً من فرضيات الحقل .

مثال (5): حقل الأعداد العقدية C مع عمليتي الجمع والضرب العاديتين يشكل فضاءً متجهياً على حقل الأعداد الحقيقية R.

مثال (6): ليكن n عدداً طبيعياً، إن P_n(x) مجموعة كل الحدوديات p (x) من الدرجة n على الأكثر:

مع عمليتي جمع الحدوديات وضربها بعدد، تشكل فضاء متجهياً على الحقل F.

مثال (7): لتكن S مجموعة كل التطبيقات الحقيقية

 f : K → R حيث:

K Í R، ولتكن f, g من S، ولتكن عمليتا الجمع والضرب معرفتين كما يأتي:

 (f + g) (x) = f (x) + g (x) ∀ x ÎK

(a. f ) (x) = a f (x) ∀a Î R, ∀x Î K

إن S فضاء متجهي على حقل الأعداد الحقيقية R.

بعض خواص الفضاء المتجهي

إذا كان V فضاءً متجهياً على حقل F فإنَّ:

1) v0 u = O

2) (v-1) u = - u

3) λ O = O

4) -(λ u) = (-λ) u = λ (-u)

5) -(λ) ( - u) = λ u

6) λ u = O يقضي λ = 0 أو u = O

وذلك مهما تكن λ ÎF ومهما يكن u ÎV.

الفضاء الجزئي subspace

يقال عن مجموعة جزئية غير خالية S من فضاء شعاعي V (F) إنها فضاء جزئي من V إذا تحقق الشرطان:

1) S مغلقة تحت عملية الجمع المتجهي، أي:

مهما تكن v, u من S فإن u + v من S.

2) S مغلقة تحت عملية الضرب بعدد، أي:

مهما تكن u من S، ومهما تكن λ من F، فإن λ u من S.

ينتج من ذلك:

1) إذا كان u من S فإن -u من S.

2) إن O ينتمي إلى S.

3) إن المجموعة S مع مقصور عمليتي الجمع المتجهي والضرب بعدد في V، على S، تشكل فضاءً متجهياً على الحقل F.

ويمكن إثبات ما يأتي:

إذا كانت S مجموعة جزئية غير خالية من فضاء شعاعي V (F) فإنَّ S فضاء جزئي من V إذا وفقط إذا تحقق الشرط الآتي:

α, β ÎF∀و ∀u, vÎS فإن α u + β v ÎS

مثال (8): لتكن M_n (R) مجموعة كل المصفوفات الحقيقية المربعة ذات المرتبة n،

ولتكن: Γ = {A ÎM_n (R) : A^T = A}

مجموعة كل المصفوفات AÎM_n (R) التي منقولها A^T يساوي المصفوفة A.

إن Γ فضاء جزئي من الفضاء المتجهي M_n (R).

مثال (9): لتكن V مجموعة حلول جملة المعادلات الخطية المتجانسة:

α_i1x₁ + α_i2x₂ + … + α_inx_n = 0 : i = 1, 2, …, m: α_ijÎ R 

إن V فضاء جزئي من الفضاء المتجهي Rⁿ، يدعى فضاء الحل للجملة.

مثال (10): إن V = {(x, y, z) Î R³ : x - y + z = 0}

فضاء جزئي من الفضاء المتجهي R³.

في حين M = {(x, y, 5) : x, y Î R}

ليس فضاءً جزئياً من الفضاء المتجهي R³، لأنَّ (n 0, 0, 0) لا ينتمي إلى M.

المولّدات generators

إذا كانت S = {u₁, u₂, …, u_n} مجموعة جزئية من الفضاء المتجهي V (F) فإن المجموعة:

W = {α₁ u₁+ α₂ u₂+…+ α_nu_n : α_iÎF ; υ_iÎS}

المكوّنة من كل التركيبات الخطية linear combinations لمتجهات S تدعى بسطةS span ، ويكتب W = Span (S).

هذا ويبرهن على أن المجموعة W = Span (S) فضاء جزئي من الفضاء المتجهي V.

كما تسمى S مجموعة مولدات الفضاء الجزئي W، أو يقال إن W مولد بالمجموعة S.

إذا كانت V = Span (S)، أي إذا كان كل عنصر من V هو تركيب خطي لعناصر المجموعة S، فإن S تدعى مجموعة مولدات V.

ـ إن تقاطع فضائين جزئيين (W Ç T) T, W من فضاء متجهي V هو فضاء جزئي من الفضاء المتجهي V.

ويمكن تعميم ذلك على عدد n من الفضاءات الجزئية، إذ يبرهن على أن:

« تقاطع n فضاءً جزئياً W₁, W₂, …, W_n من فضاء متجهي V هو فضاء جزئي من الفضاء المتجهي V».

يجب ملاحظة أن:

«اجتماع فضائين جزئيين (W È T) T, W من فضاء متجهي V، ليس بالضرورة فضاءً جزئياً من الفضاء المتجهي V».

مثال (11): المجموعة S = {(1, 2, 0), (2, 1, 0)} تولد الفضاء الجزئي:

W = {(x, y, 0) : x, y Î R}

من الفضاء المتجهي R³.

مثال (12): الحدوديات الثلاث:

f₁(t) = 1, f₂(t) = t +1, f₃ = t² + 2t - 1

تولد الفضاء المتجهي:

R₂[t] = {a t² + bt + c : a, b, c ÎR}

مثال (13) : إذا كان:

T = {(x, 0) : x Î R} و W = {(0, y) : y ÎR}

فإن تقاطع هذين الفضائين الجزئيين هو فضاء جزئي من الفضاء المتجهي R²، لكن اجتماعهما ليس فضاءً جزئيًا من R²، ذلك لأن:

(v1, 0) , (v0, 1) Î W È T

 (v1, 0) + (v0,1) = (v1,1) Ï W È T

مجموع فضاءات جزئية

إذا كانت W₁, W₂, …, W_n فضاءات جزئية من فضاء متجهي V (F) فإنَّ

مجموع هذه الفضاءات الجزئية W = W₁ + W₂ + … + W_n هو المجموعة

W = {u₁ + u₂ + … + u_n : u_iÎ W_i}

ويبرهن أن المجموعة W فضاء جزئي من الفضاء المتجهي V (F).

ويدعى W المجموع الخطي linear sum للفضاءات الجزئية W₁, W₂, …, W_n.

وإن كلاً من هذه الفضاءات الجزئية محتوى في المجموع، أي:

W_iÌ W₁ + W₂ + … + W_n ; i =1, 2 , …, n

مثال (14): إذا كان:

T = {(x, 0) : x ÎR} و W = {(0, y) : y ÎR}

فإن مجموع هذين الفضائين الجزئيين هو الفضاء المتجهي R² = {(x, y) : x, y Î R}.

الاستقلال الخطي linear independence

إذا كانت S = {u₁ , u₂ , … , u_n} مجموعة جزئية من الفضاء المتجهي V (F) فيقال إن عناصر S:

1) مرتبطة خطياً linear dependent إذا وجد a₁, a₂, …,a_nÎF (ليست جميعها أصفاراً) بحيث تتحقق المساواة:

a₁u₁ + a₂u₂ + …+ a_nu_n = O

أي إذا أمكن التعبير عن صفر الفضاء المتجهي V (F) كتركيب خطي لعناصر المجموعة S بحيث لا تكون الأمثال a_i كلها أصفاراً.

وهذا يكافئ:

«S مرتبطة خطياً إذا أمكن التعبير عن أحد عناصرها كتركيب خطي لعناصرها الباقية».

2) مستقلة خطياً linear independent إذا كانت المساواة

a₁u₁ + a₂u₂ + …+ a_nu_n = O

تقضي أن الأمثال جميعها أصفار. أي إن:

a₁u₁ + a₂u₂ + …+ a_nu_n = O ⇒a₁ = a₂ = … = a_n = 0

مثال (15): ليكن الفضاء المتجهي V = R³ ولتكن المجموعة:

S = {(1,2,0), (1,0,2), (2,1,3)}

إن a₁u₁ + a₂u₂ + a₃u₃ = O يقضي:

a₁ (1,2,0) + a₂(1,0,2) + a₃(2,1,3) = (0,0,0)

وبذا نحصل على جملة المعادلات الخطية المتجانسة الآتية:

a2a₁ + a₂ + a₃ = 0

a₁ + 2a₃ = 0

a3a₁ + 2a₂ = 0

التي تعطي عدداً لانهائياً من الحلول، وذلك لأن محدد أمثالها يساوي الصفر:

فمثلاً إن:

(v-1) (v1,2,0) + (v-3) (v1,0,2) + (2) (2,1,3) = (0,0,0)

ومن ثمَّ فإن جملة المتجهات مرتبطة خطياً.

مثال (16): ليكن الفضاء المتجهي V = R³ ولتكن المجموعة:

S = {(1,0,1), (1,1,0), (1,2,3)}

إن a₁u₁ + a₂u₂ + a₃u₃ = O يقضي:

a₁ (1,0,1) + a₂(1,1,0) + a₃(1,1,3) = (0,0,0)

وبذا نحصل على جملة المعادلات الخطية المتجانسة الآتية:

a₁ + a₂ + a₃ = 0

a2a₁ + a₂ = 0

a3a₁ + a₃ = 0

التي لها حلّ وحيد a₁ = a₂ = a₃ = 0، وذلك لأن محدد أمثالها لا يساوي الصفر:

ومن ثمَّ فإن جملة المتجهات مستقلة خطياً.

القاعدة basis

إذا كانت S = {u₁ + u₂ + … + u_n} مجموعة جزئية من الفضاء المتجهي V (F) فإن S قاعدة للفضاء V إذا حققت ما يأتي:

(آ) S مولدة للفضاء V (أيV = Span (S)

(ب) S مستقلة خطياً

ويبرهن أنه:

«إذا كانت S = {u₁ , u₂ , … , u_n} قاعدة لفضاء متجهي V (F) (ذات n عنصر) فإن كل قاعدة أخرى للفضاء V تحوي n عنصراً».

البعد dimension

إذا كانت S قاعدة للفضاء المتجهي V، فإن بُعد الفضاء V، هو عدد عناصر S. أي إذا كانت

 S = {u₁ , u₂ , … , u_n}

قاعدة للفضاء V، فإن بُعدV هو n.

أو يقال إن V نوني البعد، ونكتب dim (V) = n.

ويقال عن فضاء متجهي V، إنه منتهي البعد finite - dimensional (أو ذو بعد منته) إذا وفقط إذا كانت له قاعدة منتهية العدد.

أما الفضاءات الأخرى فتدعى فضاءات ذات بعد غير منته أو غير منتهية البعد.

ويبرهن أنه:

1) «إذا كانV فضاءً متجهياً بعده n،

وكانت S = {u₁ , u₂ , … , u_n} مجموعة متجهات مستقلة خطيًا في V، عددها n، فإن S قاعدة للفضاء V».

2) «إذا كان V فضاءً متجهياً، بعده n، وكانت S = {u₁ + u₂ + … + u_n} مجموعة مولدات V، عددها n، فإن S قاعدة للفضاء V».

مثال (17): ليكن الفضاء المتجهي V = R³، إن المجموعة:S = {(1,0,1) , (1,1,0), (1,2,3)}   مولّده للفضاء ومستقلة خطياً، فهي قاعدة للفضاء  V = R³، والفضاء ثلاثي البعد.

أنور توفيق اللحام

الموضوعات ذات الصلة:

الحقل ـ الزمرة ـ الفضاء الإقليدي ـ المتجه ـ المحدد ـ المصفوفة.

مراجع للاستزادة:

ـ أنور توفيق اللحام، مبادئ الجبر الخطي (منشورات جامعة دمشق، 1987).

- JOHN B. FRALEIGH, A First Course in Abstract Algebra (Addison-Wesley 1970).

- BIRKHOFF & MAC LANE, A Survey of Modern Algebra ( Macmillan 1970).

---

- التصنيف : الرياضيات و الفلك - النوع : علوم - المجلد : المجلد الرابع عشر، طبعة 2006، دمشق - رقم الصفحة ضمن المجلد : 554 مشاركة :