الموضوعاتية (الطريقة-)

موضوعاتيه (طريقه)

Axiomatic method - Méthode axiomatique

الموضوعاتية (الطريقة ـ)

الطريقة الموضوعاتية في الرياضيات

  توجد في الرياضيات (كما في كل علم) مفاهيم لايمكن تعريفها بدلالة مفاهيم أخرى، يقال عنها أوليَّات، كما توجد عبارات وعلاقات رياضية تدعى موضوعات (فرضيات أو مصادرات) axioms (أو postulates) يتبناها العلم، مستخدماً المنطق لاستخراج مُبَرهنات theorems ونظريات theories وعلاقات رياضية أخرى منطلقاً منها، لبناء نظام رياضي تكون هذه الموضوعاتُ قواعدَه الأساسية.

يقال عن نظام موضوعاتي axiomatic system (منظومة موضوعات) إنه مستقر consistent إذا لم يحو تناقضاً. أي لا يمكن استنتاج قضية وقضية أخرى مناقضة لها اعتماداً على موضوعات النظام نفسه. ويقال عن موضوعة إنها مستقلة إذا لم يمكن البرهان عليها اعتماداً على موضوعات أخرى. مثال ذلك في بناء مجموعة الأعداد الطبيعية توجد موضوعات أساسية منها:

لكل عدد طبيعي تالٍ له، والصفر ليس تالياً لأي عدد طبيعي.

كانت المحاولة الأولى للصياغة الموضوعاتية في الهندسة من قبل عالم الرياضيات الإغريقي إقليدس[ر]، واستعان في هذه المحاولة بخمس عشرة موضوعة صريحة، واستعان أيضاً بموضوعات أخرى غير صريحة موضوعة باش Bash axioma.

أهم الموضوعات في الجبر والهندسة

1ـ موضوعة باش: إذا قطع مستقيم الضلع AB من مثلث ABC من دون أن يمر بأحد الرؤوس A أو B أو C فلابد أن يقطع AC أو BC.

2ـ موضوعات هيلبرت :Hilber’s axioms أعطى الألماني د. هيلبرت  D.Hilbert 1862ـ1943 وصفاً كاملاً ودقيقاً للهندسة الإقليدية بمساعدة عشرين موضوعة منها موضوعة باش السابقة.

3ـ موضوعات بيانو :Peano axioms لبناء مجموعة الأعداد الطبيعية N، التي تستند على المفاهيم الابتدائية للصفر وللعدد الطبيعي، وهذه الموضوعات هي:

أ ـ الصفر عدد طبيعي.

ب ـ لكل عدد طبيعي تالياً.

ج ـ كل عددين طبيعيين لهما التالي نفسه متساويان.

د ـ الصفر ليس تالٍ لأي عدد طبيعي.

4ـ موضوعات زرميلوـ فرانكل :Zermelo- Fraenkel تخص هذه الموضوعات نظرية المجموعات [ر] التي أسسها الرياضي كنتور [ر] Cantor وهذه الموضوعات هي الآتية:

أ ـ تكون المجموعتان متساويتين إذا (وفقط إذا) كانت لهما العناصر نفسها.

ب ـ توجد مجموعة لا تحوي أي عناصر (المجموعة الخالية).

جـ ـ إذا كانت Y, X مجموعتين فإنه توجد مجموعة {Y,X} عناصرها Y,X فقط.

د ـ اجتماع مجموعة مجموعات هو مجموعة.

هـ ـ توجد مجموعة ولتكن E، أحد عناصرها المجموعة الخالية φ، وإذا كانت المجموعة x عنصراً منها فإن اجتماع x مع {x} ينتمي إلى E أيضاً. هذه الموضوعة تؤدي إلى وجود المجموعات غير المنتهية.

وـ يوجد لكل مجموعة E مجموعة تكون جميع عناصرها أجزاء من E.

زـ يوجد لكل مجموعة X غير خالية عنصر y من X حيث يكون y «∩ X خالياً.

ح ـ يوجد لكل مجموعة E علاقة ترتيب تجعل من E مجموعة مرتبة كلياً.

يتضح من الموضوعات السابقة أن الموضوعة ليست قضية واضحة من ذاتها، إنما هي نص موضوع مسبقاً.

وأقدم الأمثلة على الموضوعات تعود إلى أرسطو [ر] وإقليدس في الكتاب الشهير «المنطق الأرسطوي والهندسة الإقليدية»، وفي بواكير القرن العشرين قدّم الفلاسفة البريطانيون أمثال برتراند راسل Bertrand Russell وألفرد نورث Alfred North ووايتهيد Whitehead تشكيلاً لصياغات علمية في الرياضيات للطريقة الموضوعاتية، وفي عام 1939 قدّم الرياضي وتغر Witger كتابه الشهير عن الطريقة الموضوعاتية في علم الرياضيات.

اعتماد الرياضيات الحديثة على الموضوعاتية

تؤدي الطريقة الموضوعاتية دوراً مهماً وأساسياً لا بدّ منه في جميع فروع الرياضيات، فمن دون الموضوعات لايمكن صياغة المفهوم الرياضي صياغة سليمة، فمثلاً الزمرة هي مجموعة G غير خالية مزودة بقانون تشكيل داخلي يحقق الموضوعات: القانون تجميعي، تحوي G عنصراً محايداً، لكل عنصر من G نظير له في G.

تعد الطريقة الموضوعاتية حجر الأساس الذي لا غنى عنه في بناء أي نظرية رياضية أو أي نظام رياضي

صفوان عويرة

الأعداد الطبيعية ـ المنطق الرياضي.

- PAUL BEMAYS, Axiomatic Set Theory (Dover Publications 1991).

- A.H. LIGLTRTOZ, The Axiomatic Method; An Introduction to Mathematical Logic (Prentice Hall 1964).

التصنيف : الرياضيات و الفلك

النوع : علوم

المجلد: المجلد العشرون

رقم الصفحة ضمن المجلد : 66

آخر أخبار الهيئة :

معجم المصطلحات

الأطلس الجغرافي

البحوث الأكثر قراءة

اصدارات الموسوعة العربية

أسماء الباحثين

هل تعلم ؟؟

• - هل تعلم أن الأبلق نوع من الفنون الهندسية التي ارتبطت بالعمارة الإسلامية في بلاد الشام ومصر خاصة، حيث يحرص المعمار على بناء مداميكه وخاصة في الواجهات

• - هل تعلم أن الإبل تستطيع البقاء على قيد الحياة حتى لو فقدت 40% من ماء جسمها ويعود ذلك لقدرتها على تغيير درجة حرارة جسمها تبعاً لتغير درجة حرارة الجو،

• - هل تعلم أن أبقراط كتب في الطب أربعة مؤلفات هي: الحكم، الأدلة، تنظيم التغذية، ورسالته في جروح الرأس. ويعود له الفضل بأنه حرر الطب من الدين والفلسفة.

• - هل تعلم أن المرجان إفراز حيواني يتكون في البحر ويتركب من مادة كربونات الكلسيوم، وهو أحمر أو شديد الحمرة وهو أجود أنواعه، ويمتاز بكبر الحجم ويسمى الش

• هل تعلم أن الأبسيد كلمة فرنسية اللفظ تم اعتمادها مصطلحاً أثرياً يستخدم في العمارة عموماً وفي العمارة الدينية الخاصة بالكنائس خصوصاً، وفي الإنكليزية أب

• - هل تعلم أن أبجر Abgar اسم معروف جيداً يعود إلى عدد من الملوك الذين حكموا مدينة إديسا (الرها) من أبجر الأول وحتى التاسع، وهم ينتسبون إلى أسرة أوسروين

• - هل تعلم أن الأبجدية الكنعانية تتألف من /22/ علامة كتابية sign تكتب منفصلة غير متصلة، وتعتمد المبدأ الأكوروفوني، حيث تقتصر القيمة الصوتية للعلامة الك

شراء النسخة الورقية