التناظر

تناظر

Symmetry - Symétrie

التناظر

يسمى كل تطبيق[ر] تقابلي بين مجموعة نقاط مستوٍ (أو نقاط الفضاء)، والمجموعة نفسها تحويلاً نقطياً، ويسمى كل تحويل نقطي يحافظ على الأبعاد تقايساً isometry. والتناظر symmetry (التماثل) هو تقايس يتمتع بخواص معينة.

قد يكون التقايس مباشراً (محافظاً على التوجيه) كالتناظر بالنسبة لنقطة في مستو أو التناظر بالنسبة لمستقيم في الفضاء، أو غير مباشر (يعكس اتجاه الزوايا) كالتناظر بالنسبة لمستقيم في مستو، أو التناظر بالنسبة لمستو أو نقطة في الفضاء.

التناظر في مستو

1ـ التناظر بالنسبة لمستقيم (ويسمى أيضاً الانعكاس على مستقيم)، ليكن ق مستقيماً معيناً في مستو كـ، ولتكن جميع نقاط هذا المستوي قد رسمت على صحيفة من الورق الشفاف،  فإذا قلبت هذه الصحيفة بحيث تبقى كل نقطة من ق في مكانها، فإنه ينتج تقابل بين مجموعة نقاط المستوي وهذه المجموعة نفسها. يسمى هذا التحويل النقطي تناظراً بالنسبة للمستقيم ق أو انعكاساً على المستقيم ق، ويرمز له بـ ن_ق. يدعى المستقيم ق محور التناظر (محور الانعكاس).

وإذا كان هناك نظام إحداثي م س ع بحيث ينطبق المحور م س على المستقيم ق، ويكون م ع عمودياً عليه. وإذا كانت ن(س،ع) نقطة من المستوي فإن نَ (س، -ع) هي نظيرة ن بالنسبة لـ ق. وعلى هذا إذا كانت (سَ، عَ) صورة (س، ع) وفق التناظر المذكور فإن سَ = س، ع، عَ =-ع.

إن التناظر بالنسبة لمستقيم تقايسٌ غير مباشر يحقق الخواص الآتية:

أ ـ إذا كانت بَ صورة ب وفق ن_ق، فإن ب هي صورة بَ وفق ن_ق، وإن المستقيم ق هو محور القطعة ب بَ.

ب ـ إن نقاط محور التناظر ق تبقى في مواضعها فهي نقط ثابتة في التطبيق ن_ق.

حـ ـ صورة كل مستقيم ل وفق ن_ق هو مستقيم لَ (الشكل -1).

د ـ يحافظ التناظر بالنسبة لمستقيم على قياس الأطوال والزوايا غير أنه يعكس جهة الزوايا.

هـ ـ إذا أُجري تناظر ن_ق في المستوي مرتين الواحدة بعد الأخرى، أي إذا رُكِّب التناظر مع نفسه، فإن النقاط تعود إلى مواضعها، أي إنه ينتج التطبيق المطابق مـ:

هذا يعني أن التحويل المعاكس لـ ن_ق هو ن_ق نفسه، فالتناظر تطبيق ارتدادي involutive.

2- جُداء تناظرين: إذا كان ق، قَ مستقيمين متقاطعين في نقطة م، وكانت الزاوية بينهما تساوي يه، وإذا كانت ن₁ هي صورة نقطة ن بالتناظر ن_ق وكانت نَ هي صورة ن₁  بالتناظر ن_ق، فإن نَ هي صورة ن بالتركيب (الشكل -2).

يلاحظ أن م نَ = م ن، وأن الزاوية بين م_ن وم_نَ ثابتة وتساوي 2يه. وعلى هذا فإن تركيب تناظرين بالنسبة لمستقيمين متقاطعين هو دوران حول نقطة تقاطع هذين المستقيمين بزاوية ضعف الزاوية بين المستقيمين.

 أما إذا كان المستقيمان ق، قَ متوازيين (الشكل -3) فإن انسحاب translation عمودي على المستقيمين المتوازيين، ومتجه الانسحاب يساوي ضعف المتجه الذي يسحب المستقيم الأول ق إلى المستقيم الثاني قَ.

ويلاحظ سواء في الحالة الأولى أو الثانية أن تركيب التناظرين يعطي تحويلاً مباشراً (دوران في الحالة الأولى وانسحاب في الحالة الثانية).

3- التناظر بالنسبة لنقطة: إذا كانت م نقطة من المستوي و ن نقطة ما، فإن نظير ن بالنسبة لـ م هو نقطة نَ تقع على استقامة ن م وفي الجهة الأخرى بالنسبة لـ ن وبحيث يكون ن م = م نَ (الشكل ـ4). يتضح من هذا التعريف أن التناظر بالنسبة لنقطة م (ويسمى أيضاً انعكاس في م) هو تركيب انعكاسين على مستقيمين متعامدين ق، قَ مارين من النقطة م.

يسمى التناظر بالنسبة لنقطة م أيضاً نصف دورة حول م، ويرمز له بـ ند_م. ويكون:

يقال عن جسم إنه متناظر بالنسبة لنقطة م إذا كانت صورته وفق ند_م هي الجسم نفسه. ويقال عنه إنه متناظر بالنسبة لمستقيم ق إذا كانت صورته وفق ن_ق هي نفسه.

ينتج مما سبق أنه إذا كان ق،قَ مستقيمين متعامدين وكانت م نقطة تقاطعهما، وإذا كان جسم متناظراً بالنسبة لعنصرين من هذه العناصر الثلاثة فهو متناظر بالنسبة للعنصر الثالث.

التناظر في الفضاء

1 ـ التناظر بالنسبة لمستو: إذا كان كـ مستوياً و ن نقطة من الفضاء.

نقول عن النقطة نَ التي تقع على العمود من ن على كـ وبحيث يكون المستوي كـ عمودياً على القطعة ن نَ في منتصفها، إنها نظير ن بالنسبة للمستوي كـ. وإذا كان م س ع ص نظاماً إحداثياً قائماً وكان المحوران م س، م ع واقعين في المستوي كـ. وإذا كانت إحداثيات ن هي (س، ع، ص) فإن إحداثيات نَ هي (س،ع، -ص).

يتضح من هذا أن التناظر بالنسبة لمستوٍ يحافظ على قياس الأطوال والزوايا، ولكنه يعكس جهة الزوايا فهو تقايس غير مباشر. ويتضح كذلك أن هذا التناظر هو تحويل ارتدادي. ثم إن نظير مستقيم ق بالنسبة لمستو كـ هو مستقيم قَ ونظير دائرة هو دائرة، ونظير كرة هو كرة.

2 ـ جداء تناظرين بالنسبة لمستويين: إذا كان المستويان متقاطعين، وكانت يه الزاوية من المستوي الأول إلى المستوي الثاني، فإن تركيب التناظرين بالنسبة لهذين المستويين هو دوران حول فصلهما المشترك زاويته عه تساوي ضعف الزاوية بين المستويين عه = 2يه. أما إذا كان المستويان متوازيين وكان  هو متجه الانسحاب الذي ينقل المستوي الأول إلى المستوي الثاني فإن تركيب التناظرين بالنسبة لهذين المستويين هو انسحاب متَّجهه . وبالعكس يمكن النظر إلى الدوران حول مستقيم ق زاويته يه على أنه تركيب تناظرين بالنسبة لأي مستويين يمران بـ ق زاويتها ، كما يمكن النظر إلى الانسحاب الذي متجهه   على أنه تركيب تناظري حول مستويين ينشأ ثانيهما عن الأول بانسحاب قدره .

3 ـ التناظر بالنسبة لمستقيم ق: يسمى هذا التناظر كذلك نصف دورة حول المستقيم ق (الشكل -5). ويمكن النظر إلى هذا التناظر على أنه تركيب تناظرين بالنسبة لمستويين متعامدين مارين من المستقيم ق. إن هذا التناظر في الفضاء بالنسبة لمستقيم ق هو تقايس مباشر لأنه يحافظ على توجيه الزوايا. فإذا كان شكلان س، سَ يقعان في مستو، متناظرين بالنسبة لمستقيم ق واقع في هذا المستوي (الشكل -6) فإن هذين الشكلين يكونان متساويين مع تغير الجهة. أما إذا كان التناظر بالنسبة لمستقيم ق في الفضاء فإن أحد الشكلين ينطبق على الآخر بنصف دورة حول ق.

4 ـ جداء نصفي دورتين: إذا كان ق₁، ق₂، مستقيمين متوازيين فهما يحددان مستوياً كـ.

ليكن كـ₁، كـ₂، مستويين مارين بـ ق₁، ق₂، على الترتيب، متعامدين مع كـ. ولتكن ند₁ نصف دورة حول ق₁، وند₂ نصف دورة حول ق₂، ون_كـ، ن_كـ1،ن_كـ2،، تناظرات بالنسبة للمستويات كـ، كـ₁، كـ₂، على الترتيب. إن

  وعلى هذا  فإن:

فهو انسحاب متجه بفرض أن الانسحاب الذي ينقل المستوي كـ1 إلى المستوي كـ2 (الشكل -7).

أما إذا كان ق₁، ق₂، متقاطعين فإن جداء نصفي الدورتين هو دوران حول الفصل المشترك للمستويين، تساوي زاويته ضعف الزاوية بين هذين المستويين.

5 ـ التناظر بالنسبة لنقطة: إن نظير النقطة ن بالنسبة لنقطة م هو نقطة نَ بحيث يكون ، أي إن التناظر بالنسبة لنقطة م هو تحاك مركزه م ونسبته -1، فهو تقايس غير مباشر يحافظ على قياسات الأطوال والزوايا ولكنه يعكس جهة الزوايا. ويتصف هذا التناظر بالخاصتين التاليتين:

أ  ـ جداء تناظرين بالنسبة لنقطتين م، مَ، هو انسحاب متَّجهه .

ب ـ يمكن أن يستبدل بالتناظر بالنسبة لنقطة م، جداءٌ مستقل عن الترتيب لتناظر بالنسبة لمستو كـ يمر بـ م ونصف دورة حول مستقيم ق عمودي على كـ في م أو جداء ثلاثة تناظرات بالنسبة لثلاثة مستويات متعامدة مثنى مارة بـ م. وينتج عن هاتين الخاصتين:

1ً ـ إذا كان جسم متناظراً بالنسبة لعنصرين من المجموعة المكونة من مستو ونقطة منه ومستقيم عمودي عليه عند هذه النقطة، فإنه يكون متناظراً بالنسبة للعنصر الثالث.

2ً ـ إذا كان جسم متناظراً بالنسبة لثلاثة مستويات متعامدة مثنى فإنه يكون متناظراً بالنسبة لنقطة تقاطع هذه المستويات وبالنسبة للفصول المشتركة لهذه المستويات.

زمرة التقايسات في الفضاء الإقليدي

إن المجموعة المكونة من جميع التقايسات في الفضاء، أي من جميع التقايسات المباشرة ومن جميع التناظرات بالنسبة للنقط والتناظرات بالنسبة للمستويات تشكل زمرة[ر] غير تبادلية بالنسبة لعملية تركيب التحويلات. وإن مجموعة جميع التقايسات المباشرة تشكل زمرة جزئية من زمرة التقايسات. إن كل تقايس في الفضاء هو إما أن يكون التحويل المطابق أو تناظراً بالنسبة لمستو أو جداء تناظرين بالنسبة لمستويين أو جداء ثلاثة تناظرات بالنسبة لثلاثة مستويات أو جداء أربعة تناظرات بالنسبة لأربعة مستويات.

ويبرهن أن كل تقايس مباشر في المستوي هو جداء تناظرين بالنسبة لمستقيمين واقعين في هذا المستوي، فهو بالتالي إما انسحاب وإما دوران، ويبرهن أن كل تقايس غير مباشر في المستوي هو تناظر انزلاقي أو انعكاسي انزلاقي glide reflection. والتناظر الانزلاقي هو جداء تناظر بالنسبة لمستقيم في انسحاب يوازي متجهه محور التناظر.

إن مجموعة جميع الانسحابات تشكل زمرة تبادلية بالنسبة لعملية تركيب التحويلات، ذلك لأن تركيب كل انسحابين هو انسحاب، والتحويل المطابق م هو العنصر المحايد، والتحويل المحاكي لانسحاب هو انسحاب، وعملية تركيب الانسحابات تخضع للخاصتين التجمعية والتبادلية. إن زمرة الانسحابات هي زمرة جزئية من زمرة التقايسات.

أما مجموعة جميع التقايسات غير المباشرة فلا تشكل زمرة بالنسبة لعملية تركيب التحويلات لأن تركيب كل تقايسين غير مباشرين هو تقايس مباشر.

ومن الأسئلة التي ترد في نطاق زمرة التقايسات، هو السؤال عن التقايسات في المستوي التي تنقل كل مربع ب حـ د هـ، إلى نفسه. من الواضح أنه لا يوجد أي انسحاب أو أي تناظر انزلاقي يحول المربع إلى نفسه. فالتقايسات الممكنة هي دورانات وتناظرات. وفي الواقع إن التحويلات التالية تنقل المربع إلى نفسه: التحويل المطابق، الدورانات حول مركز المربع بزوايا قدرها +90ْ، +180ْ، +270ْ، التناظران بالنسبة لقطري المربع، التناظران بالنسبة لمستقيمين اللذين يمر كل منهما بمنتصفي ضلعين متقابلين من المربع. إن هذه التقايسات الثمانية تشكل زمرة منتهية بالنسبة لعملية تركيب التطبيقات. وهذا يعني أن تركيب أي من عناصر هذه الزمرة يعطي كذلك تحويلاً ينقل المربع إلى نفسه. إن هذه الزمرة تشتمل على جميع العناصر المطلوبة.

تناظرات المكعب

يقال عن جسم إنه ذو محور دوران axis of rotation من المرتبة ن إذا لم يتغير شكله العام نتيجة دورانه حول هذا المحور بزاوية قدرها . فالمضلع المنتظم الذي عدد أضلاعه ن لا يتغير شكله العام إذا ما دوِّر حول محور عمودي على مستويه عند مركزه بزاوية تساوي أحد مضاعفات الزاوية . ومن الواضح أن أي محور دوران من المرتبة 2 (محور دوران ثنائي) هو محور تناظر للشكل.

ويلاحظ أن للمكعب الخواص التناظرية الآتية:

أ ـ المكعب متناظر بالنسبة لمركزه (والذي هو نقطة تقاطع أقطاره)

ب ـ للمكعب ثلاثة محاور دوران رباعية (من المرتبة الرابعة)، يمر كل منها بمركزيْ وجهين متقابلين منه. إن هذه المحاور الثلاثة متعامدة مثنى.

حـ ـ للمكعب أربعة محاور دوران ثلاثية (من المرتبة الثالثة) هي أقطاره. وهذا يعني أن المكعب لا يتغير شكله العام نتيجة دوران زاويته  حول كلٍ من هذه الأقطار.

د ـ للمكعب ستة محاور دوران ثنائية، يُحصل عليها بوصل منتصفي كل ضلعين متقابلين.

هـ ـ للمكعب ثلاثة مستويات تناظرية عمودية على محاور الدوران الرباعية وتمر بمركز المكعب.

و ـ للمكعب ستة مستويات تناظرية عمودية على محاور الدوران الثنائية وتتعين بالأزواج الستة للأضلاع المتقابلة.

إن عناصر التناظر هذه هي أيضاً عناصر تناظرية لثماني الوجوه المنتظم الذي يحصل عليه بوصل كل مركز من مراكز وجوه المكعب مع مراكز الوجوه المجاورة له.

التناظر في عالم الأحياء

تلاحظ تناظرات محورية في الأجزاء الأكثر انتظاماً من النباتات (كالأزهار) أو في بعض الحيوانات المائية المثبتة (كعديدات الأرجل Polyps). والتناظرات المحورية هذه هي من مرتبة غير منتهية أو من مرتبة منتهية. ففي النباتات أحاديات الفلقة monocotyledones تكون هذه المرتبة 3 أو 6، وفي معظم النباتات ثنائيات الفلقة[ر] dicotyledones وفي شائكات الجلدة échinodermes وفي معائيات الجوف[ر] Coelentérés 4 أو 6 أو 8. وقد يظهر تناظر ثنائي الجانب نتيجة للتراكب تحت تأثير التطور (كما في الأزهار زيجية الشكل zyomorphes وفي قنافد البحر[ر] oursins غير المنتظمة). ولا يلاحظ لدى الحيوانات السريعة الحركة كالفقاريات [ر] Verteprés ومفصليات الأرجل[ر] Arthopes سوى تناظرات ثنائية الجانب.

ولدى عدد من ذوات المصراعين[ر] يقال لها متساوية الجوانب ومتباينة المصاريع (كصدفة القديس جاك والمحار) ولدى الأسماك المنبسطة pleutonectes (سمك موسى وسمك الترس) يلاحظ أن المستوي البدائي للتناظر قد استبدل به مستو عمودي عليه.

وقلما يلاحظ تناظر من النمط الكروي الدوراني حول مركز ما في الهيكل العظمي للكائنات وحيدات الخلية (كالشعاعيات).

وأما تناظر المشطيات فوحيد من نوعه فهو حول مستويين متعامدين محورهما المشترك أمامي خلفي.

ومما لا شك فيه أنه كلما ازداد التعقيد في الكائن الحي قليلاً كان لبعض أجهزته تناظر مختلف عن ذاك التناظر للكائن بكامله. فالتناظر التقريبي لفك الإنسان مثلاً عمودي على تناظر الجسم وأما تناظر المقلة فمحوري إلخ..

وأخيراً فإن التناظر الخارجي قد يخفي في بعض الأحيان عدم تناظر داخلي، ففي الإنسان تكون المعدة على اليسار أما الكبد والزائدة الدودية فعلى اليمين.

موفق دعبول

التطبيق ـ الفضاء الإقليدي ثلاثي البعد ـ الهندسة.

ـ ماكس جيجر، هندسة التحويلات والهندسة التآلفية، ترجمة محمد عادل سودان، موفق دعبول، محمد سعيد البرني (مؤسسة الرسالة 1979).

- J.Lelong-Ferrand et J.M.Arnaudiès, Cous de mathétique, t.1: Algèber (Dunod 1971).

التصنيف : الرياضيات و الفلك

النوع : علوم

المجلد: المجلد السادس

رقم الصفحة ضمن المجلد : 894

آخر أخبار الهيئة :

معجم المصطلحات

الأطلس الجغرافي

البحوث الأكثر قراءة

اصدارات الموسوعة العربية

أسماء الباحثين

هل تعلم ؟؟

• - هل تعلم أن الأبلق نوع من الفنون الهندسية التي ارتبطت بالعمارة الإسلامية في بلاد الشام ومصر خاصة، حيث يحرص المعمار على بناء مداميكه وخاصة في الواجهات

• - هل تعلم أن الإبل تستطيع البقاء على قيد الحياة حتى لو فقدت 40% من ماء جسمها ويعود ذلك لقدرتها على تغيير درجة حرارة جسمها تبعاً لتغير درجة حرارة الجو،

• - هل تعلم أن أبقراط كتب في الطب أربعة مؤلفات هي: الحكم، الأدلة، تنظيم التغذية، ورسالته في جروح الرأس. ويعود له الفضل بأنه حرر الطب من الدين والفلسفة.

• - هل تعلم أن المرجان إفراز حيواني يتكون في البحر ويتركب من مادة كربونات الكلسيوم، وهو أحمر أو شديد الحمرة وهو أجود أنواعه، ويمتاز بكبر الحجم ويسمى الش

• هل تعلم أن الأبسيد كلمة فرنسية اللفظ تم اعتمادها مصطلحاً أثرياً يستخدم في العمارة عموماً وفي العمارة الدينية الخاصة بالكنائس خصوصاً، وفي الإنكليزية أب

• - هل تعلم أن أبجر Abgar اسم معروف جيداً يعود إلى عدد من الملوك الذين حكموا مدينة إديسا (الرها) من أبجر الأول وحتى التاسع، وهم ينتسبون إلى أسرة أوسروين

• - هل تعلم أن الأبجدية الكنعانية تتألف من /22/ علامة كتابية sign تكتب منفصلة غير متصلة، وتعتمد المبدأ الأكوروفوني، حيث تقتصر القيمة الصوتية للعلامة الك

شراء النسخة الورقية