التعويض

تعويض

Substitution - Substitution

التعويض

التعويض substitution من س هو أي تقابل مثل تا: س ¬ س، حيث س أيّ مجموعة منتهية وغير خالية. ويمكن، للسهولة، عَدُّ س=(1، 2،..، ن) وهذا لا يؤثر في عمومية المناقشة. ويسمى عَدَدُ عناصر س درجة تا. ويمكن تمثيل أي تعويض تا من الدرجة ن، الذي يحول هـ إلى تا (هـ) لأجل هـ= 1،...، ن، بعدّة أشكال متكافئة ومتساوية، كُلٌّ منها جَدْوَلٌ ذو سطرين، يدعى الأول منهما مُنطلق تا، ويدعى الثاني مُستقره، حيث يُكتب تا(هـ) تحت هـ مباشرة في الجدول. ويكون كل من سَطري الجدول مرتباً ترتيباً ما، أي إنه تَبديلٌ لـ س من الدرجة ن. ويمكن رَدُّ كُلِّ شكلٍ لـ تا إلى الشكل المحدَّد الآتي، الذي عناصرُ سطرِهِ الأول مرتَّبةٌ ترتيبها الطبيعي:   وبالتالي يتعين تا تماماً بسطره الثاني الذي هو التبديل ]تا(1) تا(2) ...تا(ن)[. إذن فعدد التعويضات من الدرجة ن يساوي عدد التباديل لـ س من الدرجة ن، أي يساوي ن!.

يُفْتَرضُ فيما يأتي أن ن ≥ 1 وأن س = { 1، 2، ....، ن } وأن كل تعويض من الدرجة ن، مالم يذكر خلاف ذلك.

الزمرة التناظرية: لتكن ظ _ن مجموعة التعويضات. يمكن تزويد ظ _ن بقانون تشكيل داخلي تجميعي o ألا وهو تركيب التطبيقات، الذي يدعى، عادة، جداء التعويضات أو حاصل ضربها. فإذا كان تا، ها أي عنصرين من ظ _ن فعندئذٍ: تا ها = تا o ها = لا ' ظ _ن،

حيث لا(س) = تا (ها(س)) لأجل أيّ س من س. ويوجد في ظ _ن عنصر محايد هو التعويض المطابق

حيث تا م _ن = م _ن تا = تا. وأيضاً يوجد لـ تا مقلوب في ظ _ن هو التطبيق المعاكس تا^-1، حيث تا تا^-1 = تا^-1 تا = م _ن. ويمكن الحصول على تا^-1 بالمبادلة بين سطري تا. وبذلك تكون ظ _ن [بالنسبة لجداء التعويضات] زمرة منتهية، مرتبتها ن! وتدعى الزمرة التناظرية من الدرجة ن. وتكون هذه الزمرة تبديلية عندما يكون ن ≥ 2 وغير تبديلية عندما ن ≥3.

تفريق تعويض

تعاريف: بفرض تا أيّ تعويض. إن مَرْتَبَة تا هي أصغر عدد صحيح موجب مثل ص. بحيث يكون تا^ص = م _ن في الزمرة ظ _ن، حيث تا^ص = تا ... تا [تا مكررة ص مرة].

يقال عن تا إنه دورة ذات الطول هـ، حيث 1 < هـ ≤ ن إذا وجدت في س مجموعة جزئية مثل ع بحيث يتحقق ما يأتي:

1ـ ع مكونة من هـ عنصراً.

2ـ "ع 'ع فإن ع ¹ تا(ع) 'ع.

3- " ب ' س - ع فإن ب = تا(ب).

فإذا كانت ع = } حـ، د، ...، ق{ = } أ₁، أ₂، ...، أ_هـ{  وكان تا (أ _ك) = أ _ك+1 لأجل ك' { 1،....، هـ -1 }، تا(أ _هـ) = أ₁ فإنه يرمز لهذه الدورة بـ (أ₁ أ₂ ... أ_هـ-1 أ_هـ).

ومن الواضح أنّ: (أ₁ أ₂ ... أ_هـ-1 أ_هـ)= (أ₂ أ₃ ... أ_هـ أ₁)= ... = (أ_هـ أ₁ ... أ_هـ-2 أ_هـ-1). وينظر إلى التعويض المطابق م_ن بأنه دورة ذات الطول هـ =1 والتي يرمز لها بـ (س)، حيث س أي عنصر من س. كما تدعى أي دورة، بطول 2، مُنَاقَلَة.

إذا كانت (أ₁ أ₂ ... أ_هـ-1 أ_هـ)، (ب₁، ب₂، ... ب_ك) دورتين بحيث إن: }أ₁ ... أ_هـ ءÇ ء }ب₁ ... ب_ك{ = نф

 فيقال إنهما دورتان مستقلتان، ومن الواضح أن جداءهما تبديلي.

مثال(2): إذا كان ن = 5 فإن:

2ـ خواص التعويضات:

أ ـ كل تعويض يساوي (أو يَتَفَرَّق إلى) جداء عدد منته من الدورات المستقلة مثنى مثنى، وهذا التفريق وحيد (بغَضّ النظر عن ترتيب المضاريب فيه).

مثال توضيحي يبين طريقة برهان هذه الخاصة وطريقة استخدامها:

إنّ تا(1) =3، تا(3) =5، تا(5) =7، تا(7) =1 وبذا تنتج الدورة (1 3 5 7). ثم يكرر مثل هذا العمل حتى يصبح كل عنصر من المجموعة {1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، {8 قد شارك في واحدة فقط من الدورات التي نتجت.

وبذلك يكون: تا = (1 3 5 7) (2 4 6 8).

ويمكن حذف الدورة (3) لأنها تساوي م₄، فيصبح ها = (4 2 1)، وذلك عندما لا ترتبط المناقشة بعدد الدورات المستقلة جميعها. وينسجم هذا مع ترميز الدورة عندما عرفت أعلاه.

ب ـ مرتبة أي دورة تساوي طولها.

حـ ـ مرتبة أي تعويض تساوي المضاعف المشترك الأصغر لأطوال جميع الدورات المستقلة مثنى مثنى والتي جداؤها يساوي هذا التعويض.

د ـ إذا كانت (أ₁ أ₂... أ_هـ) أي دورة ذات الطول هـ فإنه يمكن تفريقها إلى جداء (هـ -1) مناقلة بإحدى الطريقتين الآتيتين:

(أ₁ أ₂ أ₃ ... أ_هـ-1 أ_هـ) = (أ₁ أ_هـ) (أ₁ أ_هـ-1) ... (أ₁  أ₃) (أ₁ أ₂)

(أ₁ أ₂ أ₃ ... أ_هـ-1 أ_هـ) = (أ₁ أ₂) (أ₂ أ₃) ... (أ_هـ-1  أ_هـ)

[ملاحظة: إن المناقلات، في كل من الطرفين الأيسرين، غير مستقلة، فترتيب المضاريب له أهميته].

هـ ـ إذا كان ن ≥ 2 وكانت د دورة بطول 1، فإنّ:

د = م _ن = (أ ب) (أ ب) = (أ ب) (أ ب) (أ ب) (أ ب) = ...

حيث أ،ب، أي عنصرين مختلفين من س.

وـ بافتراض أ،ب، حـ، د، أي أربعة عناصر مختلفة مثنى مثنى من س فإنّ:

(أ ب)^-1 = (أ ب) عندما ن ≥ 2

(أ حـ د) = (أ ب د) (أ ب د) (أ ب حـ) (أ ب د) ن ≥ 4

زـ كل تعويض يتفرق إلى جداء عدد منته من المناقلات، وذلك بطرق كثيرة ومختلفة [ولكن هذا العدد لا يتعين بشكل وحيد عندما ن ≥ 2].

مثال: إذا كان ن = 5 فإنّ:

ح ـ إذا كان ن ≥ 2 فكل تعويض يمكن أن يفرق إلى جداء مناقلات منتمية إلى المجموعة } (1 2)، (1 3)، ...، (1 ن){

طـ ـ إذا كان أ، ب عنصرين من س بحيث ب = أ + هـ > أ + 1  فإن المناقلة (أ ب) تساوي:

(أ + هـ) = (أ – هـ -1  أ + هـ) (أ + هـ -2  أ + هـ -1) ..................

                            (أ +1  أ +2) (أ  أ +1) (أ +1  أ +2) ................

                               (أ + هـ -2  أ + هـ -1) (أ + هـ -1  أ + هـ)؛

وبالتالي فكل مناقلة (س ع) تساوي جداء عدد من المناقلات ذوات الشكل (ص ص +1).

ي ـ يمكن تفريق أي تعويض تا إلى جداء (ن- ك) من المناقلات، حيث ك هو عدد جميع الدورات المستقلة مثنى مثنى والتي يتفرق التعويض تا إلى جدائها.

 ويتم إثبات ذلك بالاستفادة من الخاصتين أ، د.

يقال عن العدد D = (ن - ك) إنه تناقص التعويض تا.

نوعية التعويض

تعاريف: ليكن ل أي تبديل لـ س. يقال إن عددين، من العداد الداخلة في ل، يحدثان انقلاباً فيه إذا كان أكبرهما واقعاً على يمين أصغرهما فيه.

ويدعى عدد الأزواج، التي كل منها يحدث انقلاباً في ل، عدد الانقلابات في ل.إذا تَمَّت مبادلة موضعي عددين في ل وتركت بقية الأعداد في مكانها، فيقال إنه أُجري تَنقيلٌ في ل.

تعريف نوعية التبديل: يقال عن التبديل ل إنه زوجي (فردي) إذا وإذا فقط كان فيه عدد زوجي (فردي) من الانقلابات.

فمثلاً، التبديل [1 2 … ن] زوجي لأن فيه \ انقلاباً، أما التبديل [2 6 1 5 3 4]، حيث ن =6، فهو فردي لأن فيه 7 انقلابات.

تعريف نوعية التعويض: يقال عن التعويض تا إنه زوجي [فردي] إذا وإذا فقط كان تا(ق) = ق [تا(ق) = - ق].

هذا ويمكن أن ينظر إلى التعويض تا بأنه زوجي عندما ن =1.

عبد الواحد أبو حمدة

التحليل التوليفي ـ الزمرة ـ المحدّدة.

- C.H.Sah, Abstract Algebra (Academic Press, U.S.A 1968).

- R.D.Carmichael, Introduction to the Theory of Groups of Finite Order, Dover, U.S.A1956).

التصنيف : الرياضيات و الفلك

النوع : علوم

المجلد: المجلد السادس

رقم الصفحة ضمن المجلد : 663

آخر أخبار الهيئة :

معجم المصطلحات

الأطلس الجغرافي

البحوث الأكثر قراءة

اصدارات الموسوعة العربية

أسماء الباحثين

هل تعلم ؟؟

• - هل تعلم أن الأبلق نوع من الفنون الهندسية التي ارتبطت بالعمارة الإسلامية في بلاد الشام ومصر خاصة، حيث يحرص المعمار على بناء مداميكه وخاصة في الواجهات

• - هل تعلم أن الإبل تستطيع البقاء على قيد الحياة حتى لو فقدت 40% من ماء جسمها ويعود ذلك لقدرتها على تغيير درجة حرارة جسمها تبعاً لتغير درجة حرارة الجو،

• - هل تعلم أن أبقراط كتب في الطب أربعة مؤلفات هي: الحكم، الأدلة، تنظيم التغذية، ورسالته في جروح الرأس. ويعود له الفضل بأنه حرر الطب من الدين والفلسفة.

• - هل تعلم أن المرجان إفراز حيواني يتكون في البحر ويتركب من مادة كربونات الكلسيوم، وهو أحمر أو شديد الحمرة وهو أجود أنواعه، ويمتاز بكبر الحجم ويسمى الش

• هل تعلم أن الأبسيد كلمة فرنسية اللفظ تم اعتمادها مصطلحاً أثرياً يستخدم في العمارة عموماً وفي العمارة الدينية الخاصة بالكنائس خصوصاً، وفي الإنكليزية أب

• - هل تعلم أن أبجر Abgar اسم معروف جيداً يعود إلى عدد من الملوك الذين حكموا مدينة إديسا (الرها) من أبجر الأول وحتى التاسع، وهم ينتسبون إلى أسرة أوسروين

• - هل تعلم أن الأبجدية الكنعانية تتألف من /22/ علامة كتابية sign تكتب منفصلة غير متصلة، وتعتمد المبدأ الأكوروفوني، حيث تقتصر القيمة الصوتية للعلامة الك

شراء النسخة الورقية