logo

logo

logo

logo

logo

التحليل العقدي

تحليل عقدي

Complex analysis - Analyse complexe

التحليل العقدي

 

التحليل العقدي complex analysis هو فرع من فروع الرياضيّات، نشأ من دراسة الدوال التحليليّة بمتحول واحد أو بعدّة متحولات. بدأ باكتشافات ريمان Riemann المهمّة في أواسط القرن التاسع عشر، إذ بدأ تحوّل مستمرٌ وحثيث نحو دراسة الخواص الشاملة للدوال التحليليّة بالاعتماد على الطرائق الطبولوجيّة والهندسة الجبريّة، جعل هذا التحليلَ العقدي واحداً من أسس التطوّر المعاصر للرياضيّات الذي يتميّز بدمج وتركيب كامل ومتكامل للأفكار.

تطوّرت دراسة خواص الدوال لمتغير عقدي واحد بأسلوب متميِّز في النصف الثاني من القرن التاسع عشر نتيجة للأبحاث اللامعة التي أجراها ريمان، وتبعه بوانكاريه Poincaré، وشوتكي Shottky، وشفارتز Schwarz، وفايرشتراس Weierstrass ونويمان Neumann وغيرهم.

وفي أواخر القرن التاسع عشر وبدايات القرن العشرين ظهرت نظريّة الدوال لعدّة متغيرات عقديّة وأُسِّست نظريّة السطوح الجبريّة وبدأت دراسة الخواص الشاملة للدوال التحليليّة لعدّة متغيرات.

كان الاعتقاد السائد حتّى بدايات القرن التاسع عشر هو أنّ معظم الدوال  لمتحول حقيقي المعرفة على مجال، تقبل الاشتقاق عدداً لا نهائيّاً من المرّات إلا عدداً منتهياً من نقاطه، وأنّه يمكننا في حالة مثل هذه الدوال أن نعبر عنها على هيئة مجموعة متسلسلة من الدوال كثيرات الحدود تسمى متسلسلة تايلور [ر. التفاضل]. ولمّا لم تكن الأفكار المتعلّقة بتقارب المتسلسلات قد نضجتْ بعدُ، كان الرياضيّون يقبلون أنّ الدالة  تساوي مجموع متسلسلة تايلور المتعلّقة بها. تميّزت بدايات القرن التاسع عشر بالتزام الدّقة، وصار واضحاً بتأثير غاوس Gauss وآبل Abel وكوشي Cauchy، أن لا معنى لمتسلسلة ما لم يُثْبَت تقاربها، وأنّه توجد دوال تقبل الاشتقاق عدداً لا نهائيّاً من المرّات في جوار نقطة دون أن تتقارب متسلسلة تايلور المتعلّقة بها في جوار تلك النقطة.

كان كوشي هو أوّل مَنْ أنشأ النظريّة العامّة للدوال التحليليّة، إذ راودته فكرة الانتقال الكامل إلى الساحة العقديّة، وخطا في عدة سنوات خطوات جبّارة، وذلك بإدخاله أداة رياضيّة فعّالة تتمثّل بالتكاملات المنحنية في المستوي العقدي.

نقول عن دالة عقدية معرفة على مجموعة جزئيّة من مجموعة الأعداد العقدية[ر] إنّها دالة تحليلية أو هولومورفية عليها إذا حققت المعادلة المعروفة باسم معادلة كوشي ـ ريمان. تُعبِّر النتيجة الأساسيّة التي توصّل إليها كوشي عن تعاضد مهمّ بين القيم التي تأخذها دالة تحليلية. إذ يمكن التعبير عن القيم التي تأخذها دالة تحليلية داخل قرص بدلالة قيمه على محيط هذا القرص وذلك بالاستفادة من صيغة مهمة تسمى علاقة كوشي التكاملية. فأثبت انطلاقاً منها أن التابع التحليلي يساوي مجموعة متسلسلة تايلور المتعلقة به.

ومن جهة أخرى، تمثّل نظرية ريمان عن التحويلات المُطابقة مَعْلَماً آخر من معالم التحليل العقدي. نشأت فكرةُ الحويلات المُطابقة تاريخياً من الحاجة إلى رسم الخرائط الجغرافية، إذ لمّا كان سطح الأرض كروياً تقريباً بدا من الواضح أنه من الصعب تمثيله على سطح مستوٍ مع المحافظة على نسب الأبعاد. ولكن من الممكن المحافظة على الأشكال النسبية للتضاريس في جوار كلّ نقطة، ويمكن صوغ هذه الخاصَة رياضياً بتغير دقيق بقولنا: المحافظة على قيم الزوايا وجهتها في جوار كل نقطة. فنقول عن تقابل بين مجموعتين مفتوحتين من المستوي إنه تحويل مطابق إذا حافظ على الزوايا قيمةً وجهةً، أي كانت الزوايا الحاصلة عند تقاطع منحنيين مساوية جبريّاً للزاوية الحاصلة عند تقاطع صورتيهما وفق هذا التقابل. ونتحقق بسهولة أنّ كل تحويل مُطابق يكون في الحقيقة تحليلياً، وكذلك يكون أيضاً تحويله العكسي. أثبت ريمان أنه إذا وجد تقابل مستمرٌ، هو وتقابله العكسي، بين مجموعة مفتوحة جزئية من مجموعة الأعداد العقدية ومختلفة عنها وبين القرص الواحدي المفتوح، فعندئذ يوجد تحويل مطابق ينقل القرص الواحدي إلى تلك المجموعة.

لم يتوقّف التحليل العقدي عن التطوّر والتوسّع منذ ذلك الحين، وظهرت نتائج عديدة ومتشعّبة مهمّة جدّاً نذكر منها مبرهنات Picard، ومبدأ الانتظام العام للعالِم كويب Koebe الذي تُعدُّ مبرهنة ريمان عن التحويلات المُطابِقة حالةً خاصّة منه.

 

عمران قوبا

 

مراجع للاستزادة:

 

- R. Range, Holomorphic Functions and Integral Representations in Several Complex Variables, Graduate Texts in Mathematics 108 (Springer 1986).

- L. Alfors, Complex Analysis (McGraw-Hill Book Company 1979).

- W.Rudin, Real and Complex Analysis (McGraw-Hill Book Company 1974).

- L. Hörmander, An Introduction to Complex Analysis in Several Variables (D.Van Nostrand Company 1967).

 


التصنيف : الرياضيات و الفلك
النوع : علوم
المجلد: المجلد السادس
رقم الصفحة ضمن المجلد : 143
مشاركة :

اترك تعليقك



آخر أخبار الهيئة :

البحوث الأكثر قراءة

هل تعلم ؟؟

عدد الزوار حاليا : 39
الكل : 12037656
اليوم : 3844

أريتينو (بيترو)

أريتينو (بيترو -) (1492-1556)   بيترو أريتينو Pietro Aretino كاتب إِيطالي, في أعماله حيوية بارزة امتزجت فيها الاستقامة بالفساد. أثر تأثيراً بالغاً في أدب القرن السادس عشر, وتعد أعماله تعد ذات أهمية تاريخية. ولد أريتينو في أريتزو Arezzo وكان والده صانع أحذية. درس فن الرسم والأدب في بروجيه Perugia. ورحل عام 1516 إِلى رومة, وسرعان ما لفت الانتباه بشعره المتقد اللاذع وحاز استحسان البابا ليو العاشر Leo X والكردينال جوليو دي ميدتشي Giulio de Medici.
المزيد »