التكامل

تكامل

Integral - Intégral

التكامل

يُعَدّ التكامل integral أحد المفاهيم الأساسية في التحليل الرياضي، وفي الرياضيات عموماً. وترتبط نشأته بمسألتين، أولاهما إيجاد دالة انطلاقاً من معرفة مشتقها (مثلاً، إيجاد قانون حركة نقطة مادية على طول خط مستقيم استناداً إلى معرفة سرعتها)، والثانية حساب مساحة رقعة مستوية محصورة بين الخط البياني للدالة د(س) ومحور السينات والمستقيمين اللذين معادلتاهما س = أ، س = ب.

وتؤدي أولى هاتين المسألتين إلى ما يسمى التكامل غير المحدد indefinite integral، وثانيهما إلى ما يسمى التكامل المحدّد definite integral. إن دراسة خاصيات هذين النوعين من التكاملات، اللذين يرتبط أحدهما بالآخر، وحسابهما يكوّن فرع الرياضيات الذي يطلق عليه اسم الحساب التكاملي (أو حساب التكامل، أو حسبان التكامل) integral caculus.

وفي سياق تطور العلوم الرياضية، والتطبيقات التي فرضتها التقانة، خضع مفهوما التكاملين المحدد وغير المحدد إلى سلسلة من التعميمات والتغييرات.

المجاميع العليا والمجاميع الدنيا

لتكن د دالة محدودة على مجال مغلق [أ، ب]، بافتراض أن أ < ب.

يقال عن D إنها تجزئة (أو تقسيم جزئي) للمجال [أ، ب] إذا كانت D مجموعة منتهية من الأعداد س₀، س₁،...، س _ن تحقق الشرط:

أ = س₀ > س₁ > ...  >س _ن = ب

ليكن ل_ر، ل_ن الحدين الأعلى والأدنى لمجموعة قيم د (س) المأخوذة في المجال الجزئي ] س_ر-1 ، س_ر [، أي إن:

ل_ر = الحد الأعلى للمجموعة } د (س): س_ر-1 ³ س ³ س_ر{

ن_ر = الحد الأدنى للمجموعة } د (س): س_ر-1 ³ س ³ س_ر{

إن هذين العددين موجودان نظراً لكون الدالة د محدودة في [أ، ب]، ومن ثمَّ، فإن هذه الدالة محدودة في أي مجال جزئي] س_ر-1 ، س_ر [.

ليكن المجموعان التاليان:

اللذان يسميان المجموع الأعلى والمجموع الأدنى على الترتيب. من الواضح أن: مج (D  ) £ مج ( D )

لما كانت الدالة د محدودة، فثمة عدد موجب ك بحيث يكون |د (س)| ≤ ك أياً كان س من [أ، ب]. لذا نجد، استناداً إلى مبرهنات القيمة المطلقة، أن:

إذن Z (ن∆) محدود من الأعلى ومن الأدنى. ومن ثمَّ، يوجد عدد، وليكن Z هو الحد الأدنى لمجموعة كل المجاميع العليا الممكنة الموافقة لجميع التجزئات الممكنة للمجال [أ، ب]، أي إنه يوجد عدد Z معرَّف بالمساواة:

Z = الحد الأدنى للمجموعة {Z  ن(∆): ن∆ تجزئة للمجال [أ، ب]}.

يسمى Z هذا تكامل ريمان الأعلى للدالة د على [أ، ب].

وبالمثل، فإن تكامل ريمان الأدنى مج للدالة د على [أ، ب] يساوي الحد الأعلى لمجموعة كل المجاميع الدنيا الممكنة، أي إن:

مج = الحد الأعلى للمجموعة {مج (D: (D تجزئة للمجال [أ، ب]}.

شروط الكمولية (قابلية المكاملة)

قبل التعريف الدقيق للدالة الكمولة (القابلة للمكاملة) نورد المبرهنات التالية:

مبرهنة 1: أياً كانت التجزئة D، فإن مج ن( ∆) ن³ مج ( D ) وهذا أمر واضح إذا ما لوحظ أن:

وأن كل حد من الحدود المجموعة غير سالب.

يمكن أيضاً إثبات صحة المبرهنة التالية:

مبرهنة 2: إذا كانت D تجزئة ما للمجال [أ، ب]، وكانت D_ن1  هي التجزئة D مضافاً إليها عدد منتهٍ من النقاط، فإن:

مج (D  )ء ³ مج (₁D  )، مج (  ₁D)ء ³ مج ( D )

سيتضح في المبرهنة التالية أن أي مجموع أدنى هو أصغر من أي مجموع أعلى آخر.

مبرهنة 3: إذا كانت _{ء 1}D ، _ء2D  أي تجزئتين للمجال [أ، ب]، فإن مج ( ₁D ء) ³ مج ( ₂D ).

البرهان:  لتكن ₃D_ء  التجزئة المؤلفة من نقاط D_ن1 جميعها ونقاط D_ن2 جميعها. عندئذ نجد استناداً إلى المبرهنة 2 أن

مج ن(Dر ₁ )ن ³ مج ن(D_ن3 )، مج (D_ن3 ر) ³ مج ( D_ن2)

لكنه وُجد في المبرهنة 1 أن مج ( D_ن3 )ن ³ مج ( D_ن3 )، لذا إذا ما دُمجت هذه المتباينات الثلاث، فإنه ينتج أن مج ( D_ن1 )ن  ³ مج ( D_ن2 ).

مبرهنة 4: إذا كان مج، Z مجموعي ريمان الأدنى والأعلى للدالة د على [أ، ب]، فإن مج  ³ Z

لإثبات ذلك، يلاحظ من المبرهنة السابقة أنه إذا كانت D₁، D₂ تجزئتين، فإن مج (D _ن1 ) Z ³  ن( D_ن2 )،. فإذا ما ثبّتت D_ن1 مؤقتاً، فإنه يلاحظ أن مج (D_ن1) تَصْغُرُ كلَّ المجاميع العليا Z ن(D_ن2)، أياً كانت التجزئة D_ن2. ومن ثم فإن مج (D_ن1) هو عنصر حاد من الأدنى لمجموعة المجاميع العليا كلها (عنصر قاصر). لذا فإن مج (D _ن1 )ن Z ³، نظراً لكون Z هو الحد الأدنى لمجموعة المجاميع العليا كلها. وبسبب أن D_ن1 تجزئة اختيارية، فإننا نكون بهذا قد أثبتنا أن Z عنصر راجح لمجموعة كل المجاميع الدنيا (أي أنه يَكْبُرُ أو يساوي كل المجاميع الدنيا). إذن Z يكبر الحد الأعلى مج لهذه المجموعة أو يساويه، أي أن مج ≤ Z.

إن هذه المبرهنات تمكّن من إيراد التعريف المنشود التالي.

تعريف: يقال عن دالة د إنها كمولة (ريمانيّاً) [أو قابلة للمكاملة (وفق ريمان)] على المجال [أ، ب]، إذا كان مج = Z في حدود المصطلحات السابقة. وعندئذ تسمى القيمة المشتركة لـ مج و Z تكامل (ريمان) للدالة د من أ إلى ب، (أو التكامل المحدّد للدالة د من أ إلى ب) ويرمز له بالشكل    وتوفر المبرهنة التالية معياراً مفيداً للدوال الكمولة ريمانياً:

مبرهنة 5: الشرط اللازم والكافي كي تكون الدالة د كمولة ريمانياً على [أ، ب] هو أن يوجد لكل عدد موجب Î تجزئة D (تابعة لـِ Î) بحيث يكون  Zن( ∆) - مج (D)ن  > ءÎ.

إن أول تطبيق لهذه المبرهنة يتعلق بكمولية الدوال الرتيبة (تسمى الدالة د تزايدية في [أ، ب] إذا كان د (س₁) ≤ د (س₂) عندما يكون

أ ≤ س₁ < س₂ ≤ ب؛ وتسمى تناقصية في [أ، ب] إذا كان د (س₂) ≤ د (س₁) عندما يكون أ ≤ س₁ < س₂ ≤ ب؛ وتسمى رتيبة في [أ، ب] إذا كانت إما تزايدية أو تناقصية في [أ، ب]).

مبرهنة 6: إذا كانت د رتيبة في [أ، ب]، فإنها كمولة ريمانياً في [أ، ب].

تبين المبرهنة التالية أن كل دالة مستمرة كمولة ريمانياً. لكن الاستمرار ليس شرطاً ضرورياً للكمولية، فالدالة د (س) = [س] المعرفة على المجال [-2، 5] مثلاً كمولة على [-2، 5] استناداً إلى المبرهنة 6 وغير مستمرة.

هذا، ويستند إثبات المبرهنة المذكورة على مبرهنتين: تنص أولاهما على أنه إذا كانت د مستمرة على [أ، ب]، فإنها منتظمة الاستمرار على [أ، ب]، وهذا يعني أنه يوجد لكل عدد موجب Î عدد موجب d، (تابع لـ Î فقط) بحيث أنه إذا كانت س₁، س₂ أي نقطتين من [أ، ب] تحققان الشرط |س₁ - س₂| > d، فإن |د (س₁) - د (س₂)| < Î. أما المبرهنة الثانية فإنها تنص على أن كل دالة مستمرة على مجال مغلق تدرك حديها الأدنى والأعلى، بمعنى أنه إذا كانت ع مجموعة قيم د (س) عندما تمسح س قيم [أ، ب]، وكان مـ الحد الأعلى لـ ع، وَ م الحد الأدنى لـ ع، فهنالك عددان جـ، د في [أ، ب] بحيث يكون تا (جـ) = مـ، تا (د) = م.

خواص التكامل المحدد (تكامل ريمان)

والتعريفان التاليان يردان في الحالة عندما لا يكون أ < ب:

مبرهنة 7: إذا كان أ < جـ < ب، فإن الشرط اللازم والكافي كي تكون الدالة د كمولة ريمانياً على [أ، ب] هو أن تكون د كمولة ريمانياً على كل من [أ، جـ] و [جـ، ب]. وفضلاً على ذلك فإن:  

مبرهنة 8: إذا كان أ ≤ جـ ≤ هـ ≤ ب، وكانت د كمولة ريمانياً على [أ، ب] فإن د كمولة ريمانياً على [جـ، هـ].

 مبرهنة 9: إذا كانت د دالة كمولة ريمانياً على [أ، ب] فإن الدالة ك د تكون كذلك، حيث ك عدد ثابت. ثم إن:

مبرهنة 10: إذا كانت حا، ها دالتين كمولتين ريمانياً على [أ، ب] فإن الدالة حا + ها تكون كذلك، ثم إن:

مبرهنة 11: إذا كانت د دالة كمولة ريمانياً على [أ، ب]، فإن الدالة |د| تكون كذلك.

مبرهنة 12: إذا كانت حا، ها دالتين كمولتين ريمانياً على [أ، ب]، فإن الدالة حا ها تكون كذلك.

مبرهنة (القيمة الوسطى في الحساب التكاملي) 13: إذا كانت د دالة مستمرة على [أ، ب]، فإن:

التعليل الهندسي للتكامل المحدّد

1) إذا كان الخط البياني للدالة د المعرفة على [أ، ب] هو القوس ق ل الممثلة في الشكل (1)، فإن مساحة جزء المستوي المحدد بالمحيط أ ق هـ ل ب أ يساوي

2) أما إذا لم يحافظ العدد د (س) على إشارة واحدة على [أ، ب]، فإن التكامل  لا يمثل مساحة. ففي الشكل 2 يكون مثلاً:

ذلك أن التكامل المعرف على المجال التي تكون الدالة سالبة فيها يساوي المساحة الموافقة، لكن بعد ضربها بإشارة ناقص.

المكاملة والمفاضلة

إن العلاقة بين المكاملة والمفاضلة بالغة الأهمية، فهي تربط ما بين مفهومين هامين في التحليل الرياضي. وهي كذلك تبرر الإجراء المألوف الذي يُسْلَكُ لدى حساب قيمة التكامل باستعمال العملية المعاكسة للمفاضلة عند إمكان ذلك.

مبرهنة 14: إذا كانت الدالة د كمولة ريمانياً على [أ، ب]، وكانت ها دالة معرفة بالمساواة:

سيفرض الآن على د شرطٌ أقوى، ألا وهو شرط الاستمرار. عندئذ تَرِدُ المبرهنة التالية التي توفر خاصة أقوى للدالة ها.

مبرهنة 15: إذا كانت الدالة د مستمرة على [أ، ب]، وكانت ها معرفة بالمساواة:

فإن د فضولة (أي قابلة للمفاضلة)، كما أن هاَ (ز) = د (ز) أياً كان ز من [أ، ب].

تسمى ها دالة أصلية للدالة د. وتبين المبرهنة التالية أنه عند معرفة دالة أصلية للدالة د، وهذا أمر لا يتيسر دوماً، فإن حساب تكامل الدالة د يؤول إلى حساب دالة أصلية لها.

مبرهنة 16: إذا كانت د دالة مستمرة على [أ، ب]، وكانت ها دالة أصلية للدالة د على [أ، ب]، فإن:

يقال عن دالة أصلية ها لدالة د إنها تكامل غير محدد للدالة د، ويرمز لهذا بالشكل

من الواضح أنه إذا كانت لا (س) دالة أصلية ثانية للدالة د، فإن:

لا (س) = ها (س) + ثا

حيث يكون ثا عدداً ثابتاً. يترتب على هذا أن التكامل غير المحدد للدالة د يعبر عنه بدلالة دالة أصلية ها للدالة د بالشكل:

وفي القائمة التالية التكاملات غير المحددة لبعض الدوال الشهيرة مقربة إلى عدد ثابت.

ويجري أحياناً الإفادة من معرفة هذه التكاملات غير المحددة على نحو غير مباشر وبسلوك طرائق مختلفة منها:

1 ـ طريقة المكاملة بالتجزئة: إذا كان للدالتين حا، لا مشتقان مستمران، فإنه يترتب على المساواة

تفا [حا (س) لا (س)] = حا (س) تفا لا (س) + لا (س) تفا حا (س)

أن:

مثال: لحساب التكامل س تجب س تفا س يمكن أن يوضع

حا (س) = س، تفا لا (س) = تجب س تفا س

فيكون:

تفا حا (س) = تفا س، لا (س) = جب س

وبتطبيق الدستور السابق ينتج:

2 ـ طريقة تحويل المتغير: تستند هذه الطريقة إلى الملاحظة البسيطة التي تبين أنه إذا كان

فتصح المساواة التالية

التي يفترض فيها أن تكون الدوال د، لا، لاَ، ها مستمرة، والتي تستنتج من قاعدة اشتقاق الدالة المركبة.

التكاملات المعمَّمة (أو تكاملات كوشي ـ ريمان)

قيَّدت نظرية تكاملات ريمان حتى الآن بدوال محدودة معرّفة على مجالات مغلقة ومحدودة. بيد أنه من الممكن توسيع مفهوم التكامل بحيث يشمل دوالّ ليست محدودة بالضرورة، ثم إن المجالات التي عرفت عليها الدوال ليست مغلقة بالضرورة.

تعريف: لتكن د دالة معرفة على المجال [أ، ب] بحيث تكون كمولة ريمانياً على الفترة [أ،س] أياً كان س من [أ، ب]. لتكن ها الدالة:

فإنه يقال عندئذ إن تكامل كوشي ـ ريمان من النوع الأول للدالة د موجود (أو متقارب) على [أ، ¥[،

فإنه يقال عندئذ إن تكامل كوشي ـ ريمان من النوع الثاني للدالة د موجود (أو متقارب) على [أ، ب[.

هذا ومن الممكن إيراد تعاريف مماثلة للدالة د المعرفة على [ أ، ب] في الحالة أ = - ¥، وفي الحالة التي يكون فيها أ عدداً حقيقياً. تسمى التكاملات المعممة التكاملات المعتلة أيضاً.

مثال: لتكن الدالة د (ز) = e ^-ز المعرّفة على [0، ¥[. إن د مستمرة، ومن ثمّ فهي كمولة ريمانياً على المجال [0، س]، أياً كان س من [0، ¥[. من الواضح أن:

خضر الأحمد

التفاضل ـ الحساب العددي ـ الدالة ـ المتسلسلة العددية.

ـ خضر حامد الأحمد، المدخل إلى التحليل الرياضي (جامعة الرياض 1979).

ـ ت س. و.ج كلافام (مترجم من الإنكليزية)، المدخل إلى التحليل الرياضي (مؤسسة الرسالة 1985).

- Agnus E.Taylor, General Theory of Functions and Integrations, (1965).

التصنيف : الرياضيات و الفلك

النوع : علوم

المجلد: المجلد السادس

رقم الصفحة ضمن المجلد : 767

آخر أخبار الهيئة :

معجم المصطلحات

الأطلس الجغرافي

البحوث الأكثر قراءة

اصدارات الموسوعة العربية

أسماء الباحثين

هل تعلم ؟؟

• - هل تعلم أن الأبلق نوع من الفنون الهندسية التي ارتبطت بالعمارة الإسلامية في بلاد الشام ومصر خاصة، حيث يحرص المعمار على بناء مداميكه وخاصة في الواجهات

• - هل تعلم أن الإبل تستطيع البقاء على قيد الحياة حتى لو فقدت 40% من ماء جسمها ويعود ذلك لقدرتها على تغيير درجة حرارة جسمها تبعاً لتغير درجة حرارة الجو،

• - هل تعلم أن أبقراط كتب في الطب أربعة مؤلفات هي: الحكم، الأدلة، تنظيم التغذية، ورسالته في جروح الرأس. ويعود له الفضل بأنه حرر الطب من الدين والفلسفة.

• - هل تعلم أن المرجان إفراز حيواني يتكون في البحر ويتركب من مادة كربونات الكلسيوم، وهو أحمر أو شديد الحمرة وهو أجود أنواعه، ويمتاز بكبر الحجم ويسمى الش

• هل تعلم أن الأبسيد كلمة فرنسية اللفظ تم اعتمادها مصطلحاً أثرياً يستخدم في العمارة عموماً وفي العمارة الدينية الخاصة بالكنائس خصوصاً، وفي الإنكليزية أب

• - هل تعلم أن أبجر Abgar اسم معروف جيداً يعود إلى عدد من الملوك الذين حكموا مدينة إديسا (الرها) من أبجر الأول وحتى التاسع، وهم ينتسبون إلى أسرة أوسروين

• - هل تعلم أن الأبجدية الكنعانية تتألف من /22/ علامة كتابية sign تكتب منفصلة غير متصلة، وتعتمد المبدأ الأكوروفوني، حيث تقتصر القيمة الصوتية للعلامة الك

شراء النسخة الورقية