التفاضل

تفاضل

Differential - Différentiel

التفاضل

تفاضل differential دالة هو القسم الخطي من تزايدها بالنسبة إلى تزايد متغيرها (أو متغيراتها). يرتبط مفهوم التفاضل ارتباطاً وثيقاً بمفهوم المشتق، وهو واحدٌ من أهم مفاهيم التحليل الرياضي، نظراً إلى تطبيقاته المتنوعة في فروع الرياضيات الأخرى وفي الفيزياء والكيمياء والميكانيك وغيرها. يمكن لهذا المفهوم أن يتضح عبر المثال التالي:

إذا كانت ن نقطة مادية تتحرك على خط مستقيم وفق العلاقة ف = تا (ز) = ز² (حيث ف المسافة، ز الزمن) فإن سرعتها في اللحظة ز هي:

 سر = فَ = تاَ (ز) = 2ز، وتقطع النقطة في مدة زمنية (∆ ز) مسافة قدرها:

∆ ف = تا (ز + ∆ ز) – تا (ز) = 2ز (∆ ز) + (∆ ز)²

فإذا كانت ∆ ز مدة لا متناهية في الصغر فمن الممكن إهمال المقدار (∆ ز)² في العبارة السابقة، والنظر إلى المسافة المقطوعة ∆ ف على أنها تساوي

 2ز (∆ ز) بتقريب جيد، يدعى هذا المقدار الأخير (الخطي بالنسبة إلى ∆ ز) تفاضل المسافة ف ويرمز له بـ تفا ف، ويكون

تفا ف = 2ز (∆ ز) = فَ ∆ ز، في حين يدعى الفرق  ∆ ف - تفا ف الارتياب المرتكب في تقدير ∆ ف. وكلما كانت المدة ∆ ز صغيرة كان الارتياب صغيراً. وفيما يلي عرضٌ لمفهومِ تفاضلِ دالةٍ (تابعٍ) ما لمتغير حقيقي في نقطة من مجموعةِ تعريفها، وللمعنى الهندسي لهذا المفهوم، ثم لخواص التفاضل وتطبيقاته وأخيراً لمفهوم تفاضل دالة ذات متغيرين أو أكثر، وتطبيقات ذلك.

تفاضل دالة في متغير واحد في نقطة من مجموعة تعريفها

إذا كانت ع = د (س) دالة تقبل الاشتقاق عند نقطة س من مجموعة تعريفها س = ] أ₁، أ₂[ Ê ح وإذا كان دَ (س) أو عَ _س رمزاً لمشتق هذه الدالة عند النقطة س فإن تفاضل هذه الدالة في النقطة س هو تفا ع = عَ _س . ∆ س حيث ∆ س تزايد كيفي للمتغير س ويقرأ: «تفاضل ع يساوي مشتق ع في س مضروباً في تزايد ∆ س للمتغير س». فمثلاً: إذا كان

ع = د(س) = س² + جب س + لغ (1+ س²)

وإذا كان ع = 3 س

فإن تفا ع = 3 × ∆ س = 3 ∆ س

وإذا كان ع = س فإن

تفا ع = تفا س = 1 × ∆ س = ∆ س

إذن تفا س = ∆ س، ويعبر عن ذلك بالقول إن تفاضل المتغير المستقل يساوي تزايده. وهذا ما يسمح بأن تكتب العبارة تفا ع = عَ _س ∆ س بالصيغة

تفا ع = عَ _س تفا س

كما يسمح ذلك بأن تُكتبَ:

وهو ترميز أنيق للمشتق في س.

قبل عرض المعنى الهندسي للمشتق والمعنى الهندسي للتفاضل في نقطة س لا بد من الإشارة إلى أن تزايد الدالة ع = د (س)، الذي يرمز له ∆ع، هو:

∆ع = د (س + ∆ س) - د (س)

وهو يمثل سرعة تغير ع بالنسبة إلى تغير المتغير (المتحول) س.

المعنى الهندسي للمشتق والمعنى الهندسي للتفاضل في نقطة

ليكن (ى) المنحني الممثل للدالة ع = د (س) (مثلاً د (س) = س² )، (ولتكن ن₁(س، د (س))، ن (س + ∆ س، د (س + ∆ س)) نقطتين متجاورتين من (ى) انظر الشكل1.

ولتكن ∆ ع = د (س + ∆س) – د (س) =

يه₁= الزاوية التي يصنعها المماس عند النقطة ن₁ مع الاتجاه الموجب لمحور السينات.

يه = الزاوية التي يصنعها القاطع المار بـ ن و ن₁ مع الاتجاه الموجب لمحور السينات، عندئذٍ تمثل النسبة         

  ميل القاطع = ظل يه.

 عندما ∆ س ← 0 فإن يه ← يه₁ وظل يه ← ظل يه₁ = ميل المماس في ن₁

 لكن                           إذن عَ _س يمثل ميل المماس في النقطة ن₁ التي فاصلتها س والتي هي نقطة التماس.

من المثلث القائم  يلاحظ أن = (ظل يه) × ∆ س = عَ س . ∆ س = تفا ع. إذن تفا ع = وق = الفرق بين ترتيبي نقطتين من المماس المار بـ ن₁، فاصلة أولاهما س وفاصلة الأخرى س + ∆ س. ويلاحظ هنا بسهولة أنه كلما كان ∆ س صغيراً كان

لذا يعد تفاع قيمة تقريبية لـ ∆ع بارتياب قدره  ويغدو هذا الارتياب صغيراً كلما كان ∆س صغيراً.

خواص التفاضل

1 ـ إن تفا ع يكافئ التزايد ∆ع وذلك عندما يكون تفا س = ∆ س لامتناهياً في الصغر.

في الواقع إذا كان ع = د (س) و عَ = دَ (س) ¹ .

وتسعى هذه النسبة إلى الواحد عندما تسعى  ∆س إلى الصفر. هذا ما يعبر عنه

 وبقولنا إن ∆ ع يكافئ تفا ع أو إن تفا ع يكافئ ∆ع عندما يكون ∆ س لامتناهياً في الصغر.

2 ـ إذا كانت الدالة ع = د (س) فإن تفا ع = عَ تفا س. ويبقى هذا الدستور صالحاً حتى لو لم يكن س المتغير المستقل. فلو كان س = د₁(ز) دالة اشتقاقية في المتحول (المتغير) ز، لكان تفا س = سَ_ز تفا ز ولغدا تفاع = عَ_س تفا س = عَ_س . سَ_ز تفا ز = عَ_ز تفا ز (استناداً إلى قاعدة مشتق تركيب دالتين). وعليه فإن تفاع = عَ_ز تفا ز. ويمكن النظر إلى هذه الصيغة وكأنها نتجت بتطبيق تعريف التفاضل مباشرة على الدالة

ع = (د o د₁) (ز). تدعى هذه الخاصة خاصة الصمود invariance، صمود صيغة التفاضل الأول لدالة أمام تغيير المتحول. وفي الواقع، فإن خاصة «الصمود» هذه جعلت التفاضل أكثر أهمية وفائدة في التطبيقات.

3 ـ تعطي قواعدُ الاشتقاق لدوال بمتغير واحد، قواعدَ التفاضل الآتية:

تفا (س^م) = م س^م-1 تفا س

تفا (ص + ع) = تفا ص + تفا ع حيث ص و ع دالتان اشتقاقيتان في المتغير س.

تفا (ص ع) = ع تفا ص + ص تفا ع (قاعدة تفاضل جداء).

تفا (تا(ص)) = تاَ_ص (ص) . تفا ص، حيث تا (ص) دالة في ص

مثال:ع = قوس ظل (3س + 5)  Ü

4 ـ التفاضل من مرتبة ن £ ن2:

يدعى تفاع = عَ_س تفاس التفاضل الأول في س للدالة ع = د (س). وعندما تكون الدالة ع = د (س) قابلة للاشتقاق ن مرة، فيمكن تعريف التفاضل الثاني لهذه الدالة ثم، تدريجياً، التفاضل من المرتبة ن وهكذا..

تفا² ع = تفا (تفا ع) = تفا (عَ_س × تفا س)

        = تفا (عَ_س) × تفا س + عَ_س × تفا (تفا س) بحسب قاعدة تفاضل الجداء

       = (عَ_س)^/_س تفاس × تفاس + عَ_س تفا² س

       = عً_س2 (تفا س)² + عَ س تفا² س

فإذا كان س هو المتغير المستقل عُدّ تفا² س = 0 ويغدو الدستور السابق على الشكل

تفا² ع = عً_س2 (تفا س)² التي تكتب عادة بالصيغة

تفا² ع = عً (تفا س)² = عً تفا س²

هذا ويعرف تفا^ن ع كما يأتي: تفا^ن ع = تفا (تفا^ن-1 ع). وتقدم التفاضلات من رتبة ما، عندما يكون س هو المتغير المستقل، ترميزاً للمشتقات المتتالية للدالة

ع = د (س) من قبيل

تطبيقات التفاضل لدالة لِمتغير واحد

إن تطبيقات التفاضل واسعة، وفيما يلي بعض هذه التطبيقات:

 1ـ استخدام التفاضل في حساب القيم التقريبية لتزايد دالة ع = د (س) في نقطة س وفي حساب قيمة تقريبية للدالة المذكورة في نقطة س₀ + ∆ س مجاورة لـ س_.، حيث نقطة يسهل حساب قيمة الدالة د (س₀). ومفتاح هذا الأمر هو استبدال تفا ع بـ ∆ع، ذلك أن

د (س + ∆ س) - د (س) = ∆ع » تفا ع

إذن د (س + ∆ س) = د (س) + ∆ع » د (س) + تفا ع = د (س) + دَ (س) تفا س ولعل الأمثلة التالية توضح ذلك.

أ ـ لحساب القيمة التقريبية لزيادة سطح صفيحة معدنية مربعة طول ضلعها س = 10سم تعرضت للحرارة فزاد طول ضلعها بمقدار

تفا س = ∆ س = 0.0001 سم، تُصطنع الدالة ع = س²= مساحة الصفيحة، فتكون الزيادة المطلوبة

∆ ع » تفا ع = عَ_س تفا س = عَ_س ∆ س إذاً

∆ ع »  س 2 س تفا س =2 × 10 × 0.0001=0.002 سم²

ب ـ لحساب قيمة تقريبية لـ  باستخدام مفهوم التفاضل تصطنع الدالة . فإذا افترضنا س = 27  و ∆ س = -2 فإن

2 ـ استخدام مفهوم التفاضل في حساب ميل المماس لمنحن معطى وسيطياً. مثال ذلك:

إذا كان س = ب تجب³ ز، ع = ب حب³ ز معادلتين وسيطيتين لمنحن، فإن ميل المماس 

 يعطى بالمساواة:

3 ـ استخدام التفاضل في حساب المعدلات:

إذا كانت ع = د (س) دالة في المتغير س، وإذا كانت س نفسها دالة في المتغير ز: س= تا (ز) فإن   يدعى سرعة تغير الدالة س أو معدل تغير س. وهكذا يدعى  معدل تغير (أو تزايد) الدالة ع، ويكون علينا في مسائِل المعدلات حساب أحد المعدلين عَ_ز أو سَ_ز عند معرفة الآخر ومفتاح ذلك هو الدستور

. مثال ذلك توضحه المسألة التالية:

إذا ازداد طول حرف مكعب بمعدل 0.02سم/ثا، فما هو معدل تزايد حجمه حم عندما يكون طول حرفه س = 10سم.

فلحلها يقال إن حم = س³، إذن تفا حم = 3 س² تفا س، إذن

 نجد

4 ـ استخدام التفاضل في حل المعادلات التفاضلية

ومفتاح ذلك هو استخدام خاصة صمود التفاضل أمام تغيير المتحولات، وهي خاصة يكثر استخدامها في حساب التكاملات وفي حل المعادلات التفاضلية. وهكذا فلو أخذت المعادلة التفاضلية س²عً + س عَ + ع =0 وأجري تغيير في المتحول وفق العلاقة س = e^ز، فستجد أن

وبالاشتقاق ثانيةً بالنسبة إلى ز نجد ع^{. .} = س² عً + س عَ، لذا تغدو المعادلة التفاضلية السابقة بالشكل ع^{. .} + ع = 0، وهي معادلة حلها سهل وهو

ع= أ تجب ز + ب جب ز= أ تجب (لغ س) + ب جب (لغ س) حيث (أ) و(ب) ثابتان كيفيان.

تفاضل دالة لعدة متغيرات

ـ إذا كانت ف = تا (س، ع، ص) دلالة للمتغيرات المستقلة س،ع، ص، فإن تفاضلها التام أو الكلي تعريفاً هو

تفا ف = فَ_س تفا س + فَ_ع تفا ع + فَ_ص تفا ص. ويفترض هذا التعريف وجود المشتقات الجزئية فَ_س ، فَ_ع ، فَ_ص حيث

ولـ فَ_ع عبارة مشابهة وكذلك لـ فَ_ص. يلاحظ أنه في أي عملية اشتقاق جزئي بالنسبة إلى متغير ينظر إلى بقية المتغيرات على أنها ثابتة ويشتق بالنسبة إلى المتغير المعتبر. فمثلاً لو كان

إذا كانت ف = تا (س، ع، ص) = س²+ ع²+ ص²ع كان تفاضلها الكلي

تفا ف = 2س تفا س + (2ع + ص²) تفا ع + 2ص ع تفا ص

ويقال عن الدالة ف = تا (س، ع، ص) إنها من الصف الأول على منطلقها إذا كانت الدوال

مستمرة

إن كل ما ذكر يمكن تعميمه عندما تكون ف دالة في ن متغيراً مستقلاً حيث ن £ ن2

فإذا كانت

خواص التفاضل التام

خاصة الصمود للتفاضل التام

 إذا كانت ف = تا(س، ع، ص) دالة لِمتغيرات ثلاثة س، ع، ص، فإن تفا ف كما نعلم هو:

تفا ف = فَ_س تفا س + فَ_ع تفا ع + فَ_ص تفا ص

ويحافظ على هذه الصيغة حتى ولو كانت المتغيرات س، ع، ص تتبع بدورها متغيرات أخرى، فمثلاً لو كان

س = د₁(ق، ك)، ع = د₂(ق، ك)، ص = د₃(ق، ك) حيث ق، ك متغيران مستقلان لكان

تفا س = سَ_ق تفا ق + سَ_ك تفا ك، تفا ع= عَ_ق تفا ق + عَ_ك تفا ك، تفا ص= صَ_ق تفا ق+ فَ_ك تفا ك

وسيكون تفا ف = فَ_ق تفا ق + فَ_ك تفا ك، علماً بأن فَ_ق = فَ_س سَ_ق + فَ_ع عَ_ق + فَ_ص صَ_ق، ولـ فَ_ك عبارة مشابهة.

التفاضلات الجزئية من المرتبة ن ≥ 2

سيُقتصر على ن = 2 وعلى دالة لمتغيرين فإذا كانت ص = تا (س، ع) رمزاً لدالة لِمتغيرين س و ع، وإذا افترضنا أن المشتقات الجزئية

 موجودة ومستمرة، فيعرف تفا²ص  على أنه تفا (تفا ص)، وبعد الحساب يكون

تفا² ص = صً _س2 (تفا س)²+ 2صً _{س ع} تفا س تفا ع +صً _ع2 (تفا ع)²

وقد تكتب على الشكل:               

ـ الشرط اللازم والكافي لكي يكون الشكل التفاضلي:

ى = ق (س، ع) تفا س + ك (س، ع) تفا ع تفاضلاً تاماً لدالة ص = تا (س، ع) هو أن يتحقق ما يلي: قَ_ع = كَ_س،

فمثلاً ى = 3س تفا ع + 3ع تفا س هو تفاضل تام لـ ص = 3 س ع.

متسلسلة تايلور: توجد في التحليل الرياضي أداة عالية الفعالية في إجراء البحوث فيه، وهي متسلسلة تايلور Taylor series. فإذا وجد للدالة تا ]أ، ب[ ← ح مشتقات مستمرة في جوار النقطة س₀ ' ]أ، ب[ حتى المرتبة ن، بما فيها ن، فمن الممكن تقريب هذه الدالة في هذا الجوار بحدودية (كثير حدود).

يسمى حدودية تايلور (من الدرجة ن) وفق قوي س- س₀، وهكذا فإن تا (س) » ح_ن (س).

عند ذلك، فإن خطأ التقريب نق_ن (س) = تا (س) – ح_ن (س) ← 0 عندما س ← س₀ على نحو أسرع من (س- س₀)^ن.

وهكذا فإن الدالة تا يمكن تقريبها في جوار النقطة س₀ بأي درجة من الدقة بدالة بسيطة جداً (حدودية) لا يتطلب حسابها سوى إجراء عمليات حسابية: جمع وطرح وضرب.

ثمة دوال تحظى بأهمية خاصة في التحليل الرياضي تسمى الدوال التحليلية analytic functions في جوار النقطة س₀، وهي دوال لها عدد غير منته من المشتقات في النقطة س₀ وتحقق الشرط نق_ن (س) ← 0 عندما ن ← ¥ . ويمكن تمثيل هذه الدوال بمتسلسلات قوى غير منتهية تسمى متسلسلات تايلور في جوار النقطة س₀، أي إن:

ويرد حدوديات تايلور ومتسلسلات تايلور لدوال حقيقية لعدة متغيرات عند توافر شروط محددة. كذلك يمكن تعريف الحدوديات المتسلسلات هذه للداليات والمؤثرات.

القيم القصوى لدالة: لتكن تا دالة حقيقية معرفة على مجموعة جزئية أ من ح^ن (ن ا£ ا 0). تسمى ب ' أ نقطة قيمة عظمى نسبية (صغرى نسبية) للدالة تا إذا وجد جوار (جو) للنقطة ب محتوىً في أ بحيث يكون تا(س) ³ تا(ب)، (تا(س) £ تا(ب)) أيا كان س ' جو. وإذا كانت ب نقطة قيمة عظمى نسبية أو صغرى نسبية للدالة تا، فإنها تسمى نقطة قيمة قصوى نسبية لهذه الدالة.

وإذا كانت جميع المشتقات الجزئية الأولى للدالة تا (س) = تا (س₁،...، س_ن) موجودة في نقطة ب = (ب₁،...، ب_ن) داخلية في أ، وكانت ب نقطة قيمة قصوى نسبية، فعندئذٍ تكون ب نقطة حرجة critic point للدالة تا، أي إنها نقطة تتحقق في حالها المساويات:

إن عكس هذه الدعوى غير صحيح في الحالة العامة. بيد أنه ترد المبرهنة التالية:

مبرهنة (القيم القصوى النسبية للدالة): لتكن تا (س) = تا (س₁،...، س_ن) دالة حقيقية معرفة على مجموعة جزئية أ من ح^ن (ن1 1£ س1) ولنفترض أنّ لهذه الدالة مشتقات جزئية مستمرة حتى المرتبة الثانية على أ. لتكن ب ' أ نقطة حرجة للدالة تا، ولنرمز بالرمز ف _رل للمقدار

 فكي تكون ب نقطة قيمة صغرى نسبية للدالة تا يكفي أن تكون المعينات ∆ _ن1، ∆ _ن2، ...، ∆ _نم موجبة جميعاً. وكي تكون ب نقطة قيمة صغرى نسبية للدالة تا يكفي أن تكون هذه المعينات متناوبة الإشارة وأن يكون ∆ _ن1= ف₁₁ > _ن0

(لاحظ أن دراسة القيم القصوى لدالة حقيقية لمتغير حقيقي واحد حالة خاصة من هذه المبرهنة).

محمد بشير قابيل

التحليل التوليفي ـ التكامل.

ـ عادل سودان وموفق دعبول، التفاضل (مؤسسة الرسالة).

- P.Thuiliers et J.C.Belloc, Mathematiques-Analyse, timeI.

التصنيف : الرياضيات و الفلك

النوع : علوم

المجلد: المجلد السادس

رقم الصفحة ضمن المجلد : 688

آخر أخبار الهيئة :

معجم المصطلحات

الأطلس الجغرافي

البحوث الأكثر قراءة

اصدارات الموسوعة العربية

أسماء الباحثين

هل تعلم ؟؟

• - هل تعلم أن الأبلق نوع من الفنون الهندسية التي ارتبطت بالعمارة الإسلامية في بلاد الشام ومصر خاصة، حيث يحرص المعمار على بناء مداميكه وخاصة في الواجهات

• - هل تعلم أن الإبل تستطيع البقاء على قيد الحياة حتى لو فقدت 40% من ماء جسمها ويعود ذلك لقدرتها على تغيير درجة حرارة جسمها تبعاً لتغير درجة حرارة الجو،

• - هل تعلم أن أبقراط كتب في الطب أربعة مؤلفات هي: الحكم، الأدلة، تنظيم التغذية، ورسالته في جروح الرأس. ويعود له الفضل بأنه حرر الطب من الدين والفلسفة.

• - هل تعلم أن المرجان إفراز حيواني يتكون في البحر ويتركب من مادة كربونات الكلسيوم، وهو أحمر أو شديد الحمرة وهو أجود أنواعه، ويمتاز بكبر الحجم ويسمى الش

• هل تعلم أن الأبسيد كلمة فرنسية اللفظ تم اعتمادها مصطلحاً أثرياً يستخدم في العمارة عموماً وفي العمارة الدينية الخاصة بالكنائس خصوصاً، وفي الإنكليزية أب

• - هل تعلم أن أبجر Abgar اسم معروف جيداً يعود إلى عدد من الملوك الذين حكموا مدينة إديسا (الرها) من أبجر الأول وحتى التاسع، وهم ينتسبون إلى أسرة أوسروين

• - هل تعلم أن الأبجدية الكنعانية تتألف من /22/ علامة كتابية sign تكتب منفصلة غير متصلة، وتعتمد المبدأ الأكوروفوني، حيث تقتصر القيمة الصوتية للعلامة الك

شراء النسخة الورقية