logo

logo

logo

logo

logo

الأعداد الحقيقية

اعداد حقيقيه

Real numbers - Nombres réels

 الأعداد الحقيقية

الأعداد الحقيقية

التمثيل الهندسي للأعداد الحقيقية

حقل الأعداد الحقيقية

خواص حقل الأعداد الحقيقية

 

 

اتسعت دائرة الأعداد أكثر من مرة. فَعُرفت بداية مجموعة الأعداد الطبيعية natural الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136464.jpgثم مجموعة الأعداد الصحيحة integers الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136471.jpgالتي تحوي الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136479.jpgومع تعقد المسائل نسبياً أضحت هاتان المجموعتان قاصرتين عن حل معادلات من الشكل الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136487.jpg، حيث n وm عددان طبيعيان، لذلك كان لا بدّ من توسيع الأعداد الطبيعية والصحيحة إلى مجموعة الأعداد المُنْطَقَة (الكسرية) rational الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136506.jpgالأكثر اتساعاً، والتي تتكون من الأعداد الصحيحة وجميع الكسور الموجبة والسالبة للأعداد الصحيحة في صورة بسط ومقامالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136514.jpg.

يمكن كتابة هذه الأعداد المُنْطَقَة على شكل كسور عشرية منتهية مثل:

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136522.jpgالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\3279.jpgالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136533.jpg

أو كسور عشرية دورية (مكررة) مثل

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136543.jpgالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\3233.jpgالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136551.jpg

لكن هذه المجموعات من الأعداد كانت قاصرة عن حل العديد من المسائل الرياضية مثل إيجاد العدد الذي يقيس طول قطر مربع طول ضلعه واحدة الأطوال (يرمز إليه بالعددالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136558.jpg)؛ أي إيجاد العدد الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image576656.jpgالذي يحقق المعادلةالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136565.jpg، وإيجاد العدد الذي يقيس طول محيط دائرة قطرها واحدة الأطوال والذي يرمز إليه بالرمز الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image329597.jpg، وحل المعادلة الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136573.jpg، وغيرها من المسائل. لذا عُرّفت مجموعة من الأعداد سميت بالأعداد غير المُنْطَقَة (غير الكسرية) irrational الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136581.jpg؛ التي لا يمكن كتابتها على شكل كسور، ولا كسور عشرية منتهية أو دورية.

ولكن يمكن التعبير عنها بكسور عشرية غير منتهية، مثل:

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136588.jpg

والوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136599.jpg، والعدد النيبري الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136607.jpg، والوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136615.jpg وغيرها.

وبإضافة الأعداد المُنْطَقَة الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136624.jpgإلى غير المُنْطَقَة الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136634.jpgتوسعت دائرة الأعداد لتُكَوِّن ما يسمى بالأعداد الحقيقية real الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136642.jpg، والتي ترتبط بالمجموعات السابقة بالعلاقة (1).

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image335520.jpg

التمثيل الهندسي للأعداد الحقيقية:

نشأت فكرة الأعداد الحقيقية بسبب وجود أطوال لا يمكن التعبير عن قياسها باستعمال أعداد صحيحة أو مُنْطَقَة. ولكن إذا قوبل كل عدد حقيقي بنقطة على خط مستقيم الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136656.jpg(يسمى المستقيم العددي) تملأ هذه النقاط هذا المستقيم بالكامل، ومن ثَمّ يمكن للأعداد الحقيقية قياس الكميات المستمرة على اختلافها.

تُمثَل مجموعة الأعداد الحقيقية بنقط المستقيم الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136664.jpgعلى النحو الآتي: تؤخذ نقطة O منالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136672.jpg وتُقابل بالعدد الحقيقي صفر (الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136679.jpg) وتسمى نقطة المبدأ، ثم تؤخذ نقطة أخرى الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image337987.jpgعلى يمين O تمثل العدد الحقيقي واحد (الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136690.jpg)، وكذلك تؤخذ نقطة مناظرة لـ الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image3379871.jpgبالنسبة إلى المبدأ، ولتكن الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136698.jpgتمثل العدد السالب (الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136706.jpg). ويُقبل أنه يمكن مقابلة أي عدد حقيقيالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136715.jpg بنقطة وحيدة تدعى صورةالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136725.jpg، كما يمكن مقابلة أي نقطة M منالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136733.jpg بعدد حقيقي وحيد الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136740.jpg، يدعى فاصلة النقطة M، كما هو مبين بالشكل (1). ويكون هذا العدد الحقيقي موجباً إذا كانت النقطة على يمين نقطة المبدأ O، وسالباً إذا كانت على يسارها.

حقل الأعداد الحقيقية:

الشكل (1): مستقيم الأعداد الحقيقية

بتعريف عمليتي الجمع (+) والضرب (×) المعروفتين على مجموعة الأعداد الحقيقية الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136747.jpg؛ تكون البنية الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136755.jpgحقلاً تبديلياً commutative field لتَحقّق الخواص الآتية:

1 - مجموعة الأعداد الحقيقيةالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136763.jpgمغلقة بالنسبة إلى هاتين العمليتين؛ أي إن حاصل جمع (ضرب) أيّ عددين حقيقيين هو بدوره عدد حقيقي الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136770.jpg.

2 -الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136781.jpgزمرة group تبادلية تتحقق فيها:

وجود عنصر محايد neutral element هو الصفر الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136789.jpgالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136797.jpg

لكل عنصر الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136806.jpgمنالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136818.jpgنظير opposite فيالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136826.jpgيرمز إليه بـ الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136833.jpgبحيث يحقق:

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136840.jpg

الجمع عملية تجميعية associative operation على عناصر الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136848.jpg

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136856.jpg

الجمع عملية تبادلية فيالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136863.jpg

(الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136875.jpg).

3 -الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136883.jpg زمرة تبادلية؛ أي إن الضرب عملية تبادلية فيها (الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136891.jpg)، وتجميعيهالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136900.jpg يرمز إلى عنصرها المحايد بـ الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136910.jpg، ويسمى الواحد الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image340540.jpgويرمز إلى مقلوب العنصرالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136926.jpg من الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136933.jpgبـ الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136942.jpgأو بالرمز الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136950.jpgالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image344395.jpg.

4 - الضرب توزيعي على الجمع، أي تكون العلاقة (2) محققة:

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image363591.jpg

ويُبرهن على أن مجموعة الأعداد المُنْطَقَة الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136976.jpgتشكل مع القانونين +، × حقلاً جزئياً subfield من الحقلالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136984.jpg.

إذا زُوِّد الحقلالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image136993.jpg بعلاقة الترتيب order relation الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137003.jpg، تكون العلاقة (الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image360110.jpg) علاقة ترتيب كلّي ومتعدية على الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137011.jpgومنسجمة مع العمليتين (+)، (×).

ويُقصد بالترتيب الكلي، أنه أياً كان الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137018.jpgمن الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137025.jpg، فواحدة فقط من العلاقات الآتية تكون محققة:

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137033.jpgأو الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137041.jpgأو الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137048.jpg(ويمكن ملاحظة أنالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137060.jpg تعنيالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137069.jpg والوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137077.jpg)

وأما التّعدّي transitivity of the order فيعني أنّ:

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137086.jpg

وأما الانسجام مع العمليتين (+) و (×) فيعني تحقق العلاقتين (3) و (4):

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image380271.jpg

إذا أُخِذ بالحسبان الرموز الآتية:

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137104.jpgمجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة (أو غير السالبة)

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137111.jpgمجموعة الأعداد الحقيقية السالبة (أو غير الموجبة).

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137118.jpg

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137126.jpg

ينتج أن:

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137134.jpg

ويُعبَّر عما سبق بالقول: إن الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137141.jpgحقل مرتب كليّاً totally ordered field.

خواص حقل الأعداد الحقيقية:

1 - يحقق حقل الأعداد الحقيقية خاصة أرخميدسArchimedean ، أي إنه أيّاً كان العدد الحقيقي الموجب تماماًالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137153.jpg، وأيّاً كان العدد الحقيقيالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137161.jpg فثمة عدد طبيعي موجب تماماًالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137169.jpg بحيث يتحقق الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137178.jpg، أي تتحقق العلاقة (5).

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137188.jpg

لذلك يقال عن الحقل الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137196.jpg: إنه حقل أرخميدي.

2 - مجموعة الأعداد المُنْطَقَة الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137203.jpg(وغير المُنْطَقَة أيضاً الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137210.jpg) مجموعة كثيفة dense set في الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137218.jpg، أي إنه يوجد بين كل عددين حقيقيين مختلفين عدد مُنْطق، ويُعبر عن ذلك بالعلاقة (6).

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137226.jpg

ويمكن الاستنتاج من هذه الخاصة أنه بين كل عددين حقيقيين مختلفين هناك عدد لا نهائي من الأعداد العادية (وغير العادية).

3 - إذا كان الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137233.jpgفثمة عدد صحيح وحيد يُرمز إليه بـالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137244.jpg يحقق العلاقة (7).

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137252.jpg

يسمى الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137260.jpgالجزء الصحيح للعددالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137269.jpg.

4 - يغمر الحقلالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137282.jpg الحقل الجزئي الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137290.jpg؛ أي إن ثمة تطبيقاً الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137297.jpgمتبايناً يصون الجمع والضرب والترتيب، كما هو موضح بالعلاقة (8).

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image385737.jpg

وعليه يمكن المطابقة بين الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137312.jpgوالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137320.jpg.

5 - إن الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137327.jpgمجموعة غير قابلة للعدّ uncountable، أي إنه لا يوجد تطبيق تقابل (متباين وغامر) بينالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137338.jpg ومجموعة الأعداد الطبيعيةالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137346.jpg، بخلاف مجموعة الأعداد العاديةالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137355.jpg التي تشكل مجموعة عدودة.

6 - كل عدد حقيقي هو نهاية لمتتالية من الأعداد العادية، وهو أيضاً نهاية لمتتالية من الأعداد غير العادية.

القيمة المطلقة لعدد حقيقي (أو نظيمه):

ليكنالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137364.jpg، تُعرَّف القيمة المطلقة absolute value للعدد الحقيقيالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137374.jpg أو نظيم norm الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137382.jpg، ويُرمز إليه بـالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137389.jpg أو الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137396.jpg، بالمقدار الموجب الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137404.jpg.

وينتج من ذلك تحقق الخواص الآتية:

1 - الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137412.jpg

2 - الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137419.jpg

3 - الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137430.jpg

4 - الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137438.jpg

5 - الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\112\Image137446.jpg

 

 معن الأزهري

 

مراجع للاستزادة:

- John M. Howie, Real Analysis, Springer, 2005.

- Edmund Landau, Foundations of Analysis, American Mathematical Society, 2001.

- F.W. Stevenson, Exploring the Real Numbers, Prentice Hall, 2000.

 

 

 


التصنيف : الجبر ونظرية الأعداد
النوع : الجبر ونظرية الأعداد
المجلد: المجلد الثاني
رقم الصفحة ضمن المجلد :
مشاركة :

اترك تعليقك



آخر أخبار الهيئة :

البحوث الأكثر قراءة

هل تعلم ؟؟

عدد الزوار حاليا : 575
الكل : 27461520
اليوم : 71557