logo

logo

logo

logo

logo

استقرار المنظومات

استقرار منظومات

System stability - Stabilité des systèmes

استقرار المنظومات

أديب بطح

استقرار المنظومات الخطية
معايير (شروط) الاستقرار
 

 

تمتلك المنظومات systems خصائص عدة، من أهمها ما يأتي:

- الاستقرار stability: هي قدرة المنظومة - في حالة شروط عمل ابتدائية مُعطاة - على استعادة حالة العمل المتوازنة بعد خضوعها لاضطراب طبيعي، بحيث تبقى المنظومة برمتها متماسكة عمليًّا.

- قابلية التحكم controllability: لتكون المنظومة الديناميكية الخاضعة لدخل معين قادرة على فعل ما يجب أن تكون قابلة للتحكم.

ويكون شعاع حالة النظام الوصف: 14698.jpgقابلاً للتحكم تحكمًا كاملاً أو جزئيًّا إذا توفر تابع تحكم مستمر الوصف: 14690.jpgيسمح بنقل الوصف: 14680.jpgمن الشروط الابتدائية الوصف: 14672.jpgإلى قيمته النهائية الوصف: 14660.jpgفي مدة محدودة الوصف: 14648.jpg.

- قابلية الرصد observability: لمعرفة ما يجري داخل منظومة ديناميكية تحت المراقبة لا بد أن تكون هذه المنظومة قابلة للرصد.

يكون شعاع حالة النظام الوصف: 14640.jpgقابلاً للرصد في المدة الوصف: 14632.jpgإذا أمكن تحديد الشرط الابتدائي للشعاع الوصف: 14623.jpg، بمعرفة دخل النظام الوصف: 14615.jpgوخرجه الوصف: 14606.jpgلجميع قيم الزمن الوصف: 14596.jpg.

- قابلية القلب invertibility: في الجبر الخطي توصف المصفوفة المربعة الوصف: 14588.jpgبأنها قابلة للقلب أو غير شاذة إذا وُجدت مصفوفة الوصف: 14578.jpgتحقق العلاقة الوصف: 14568.jpgحيث الوصف: 14557.jpgهي المصفوفة الواحدية.

استقرار المنظومات الخطية

- تمثيل المنظومات في فضاء الحالة:

يوصف النظام اللامتغير مع الزمن في فضاء الحالة باعتباره خطيًّا على النحو الآتي (المعادلة1):

الوصف: 14546.jpg

حيث الوصف: 14538.jpgهو شعاع الحالة و الوصف: 14530.jpgهو شعاع مستقر الحالة.

يُنسب الاستقرار المعتبر هنا إلى حالة الدخل الصفري الوصف: 14524.jpg، وهي حالة استجابة النظام الطبيعية natural response (أو الحرة). ويسمى الاستقرار باستقرار الدخل الصفري.

- الاستقرار التقاربي Asymptotic stability:

تكون المنظومة مستقرة تقاربيًّا إذا كان الشرط التالي محققاً، لكلِّ الوصف: 14515.jpg، ولكلِّ حالة ابتدائية محدودة وغير صفرية الوصف: 14507.jpgكما في المعادلة (2):

الوصف: 14496.jpg

حيث: الوصف: 14488.jpg

يتجه شعاع الحالة الوصف: 14483.jpgللنظام بوجود الوصف: 14474.jpgوالشروط الابتدائية الوصف: 14460.jpgنحو مركز الإحداثيات عندما يكون هذا الشرط محققاً.

الوصف: 27-1.psd

الشكل (1): استقرار النظام الموصف بمعادلات الحالة

هامش الاستقرار:

تكون المنظومة مستقرة في الدائرة M إذا كان الشرط التالي محققًا: لكلِّ الوصف: 14449.jpg، ولكلِّ حالة ابتدائية محدودة الوصف: 14445.jpgيكون شعاع الحالة يحقق ما يلي (المعادلة 3):

الوصف: 14435.jpg

في هذه الحالة يبقى شعاع الحالة الوصف: 14430.jpgداخل الدائرة M ذات نصف قطر محدود.

- عدم الاستقرار:

إذا لم يستوفِ الوصف: 14426.jpgشرط هامش الاستقرار يقال عن النظام إنه غير مستقر. وفي هذه الحالة ينتقل الشعاع الوصف: 14417.jpgلكلِّ الوصف: 14407.jpg، والحالة الابتدائية الوصف: 14399.jpgإلى اللانهاية عندما الوصف: 14389.jpg.

- تمثيل المنظومات بمصفوفة تابع التحويل:

في المنظومات الموصفة بمصفوفة تابع التحويل H(s) يرتبط شرط مقارب الاستقرار حصرًا بأقطاب H(s).

يُوصف النظام اللامتغير مع الزمن في النطاق s انطلاقًا من مصفوفة تابع التحويل باعتباره خطيًّا كما كما في المعادلة (4):

الوصف: 14380.jpg

ويكون مميز الوصف: 14370.jpgكثير الحدود polynominal كالتالي (المعادلة 5):

الوصف: 14359.jpg

حيث الوصف: 14351.jpgهي القيم الخاصة للمصفوفة A، أو أقطاب الوصف: 14342.jpg.

- الاستقرار التقاربي:

تكون المنظومة مستقرة تقاربيًّا إذا وقعت أقطاب الوصف: 14333.jpgتابع التحويل الوصف: 14323.jpgفي النصف الأيسر من المستوي العقدي، أي إذا جرت المحافظة على بقاء قيمة المركبة الحقيقية للأقطاب سالبة، أي:الوصف: 14314.jpg

في هذه الحالة، تنتهي استجابة النظام إلى الصفر مع تزايد الزمن إلى اللانهاية.

• الاستقرار الهامشي marginal stability:

تكون المنظومة مستقرة هامشيًّا إذا وُجدت أقطاب على المحور التخيلي من تعددية واحدة (قطب مضاعف)، وبقية الأقطاب في النصف الأيسر من المستوي العقدي. وفي هذه الحالة لا تنمو الاستجابة الطبيعية للنظام ولا تضمحل، بل تبقى ثابتة أو تهتز بمطال ثابت.

ملاحظة1: في الاستقرار الهامشي، يُفترض ضمناً توافق أي من أقطاب نظام التحريض الوصف: 14302.jpgمع أيٍّ من أقطاب التابع الوصف: 14293.jpgعلى المحور التخيلي. وفي الحالة المعاكسة يكون النظام غير مستقر.

وعلى سبيل المثال، المعادلة (6):

ليكن الوصف: 14282.jpgوالوصف: 14273.jpg، فإن:

الوصف: 14263.jpg

ومن ثمّ يكون النظام غير مستقر. وبالمثل في حالة الأقطاب المترافقة على المحور التخيلي، يكون:

الوصف: 14252.jpg

والوصف: 14243.jpg

وبالتالي فإن معادلة الخرج تعطى بالمعادلة:

الوصف: 14233.jpg

ومن ثمّ يكون النظام غير مستقر.

-ملاحظة 2: في بعض الحالات الخاصة يراد للنظام أن يكون مستقرًا هامشيًّا: على سبيل المثال، في حالة (H(s) = K/s) أو المهتز .الوصف: 14225.jpgوبخلاف هذه الحالة يقال عادةً إن النظام مستقر (وإن كان مستقرًا هامشيًّا).

- عدم الاستقرار:

يكون النظام غير مستقر إذا كان لديه قطب واحد على الأقل في النصف الأيمن من المستوي العقدي، أو لديه أقطاب على المحور التخيلي بتعددية أكبر من الواحد. في هذه الحالة تنتهي استجابة النظام الطبيعي إلى اللانهاية إذا سعى الزمن إلى اللانهاية.

-تمثيل المنظومات بمصفوفة الاستجابة النبضية:

لتوصيف المنظومات بمصفوفة استجابتها النبضية الوصف: 14215.jpgيُربَط شرط مقارب الاستقرار بالقيمة المطلقة لكل عنصر، أو بتكامل القيمة المطلقة لكل عنصر من الوصف: 14206.jpg.

يوصف النظام اللامتغير مع الزمن في نطاق الزمن انطلاقًا من مصفوفة الاستجابة النبضية باعتباره خطيًّا كما في المعادلة (10):

الوصف: 14196.jpg

-الاستقرار التقاربي:

يكون النظام مستقرًا تقاربيًّا إذا تحقق الشرط كما في المعادلة (11):

الوصف: 14187.jpg

حيث A هو العنصر المنتهي الثابت الموجب، و الوصف: 14178.jpgهو العنصر (i,j) من مصفوفة الاستجابة الوصف: 14168.jpg.

-الاستقرار الهامشي:

يكون النظام مستقرًا هامشيًّا إذا احتُفظ بالشرط التالي المعادلة (12):

الوصف: 14158.jpg

حيث B رقم منتهٍ موجب.

ملاحظة: في الاستقرار الهامشي يُفترض ضمنًا توافق أي من أقطاب نظام التحريض الوصف: 14148.jpgمع أيٍّ من أقطاب التابع الوصف: 14140.jpgعلى المحور التخيلي. وفي الحالة المعاكسة يكون النظام غير مستقر.

-عدم الاستقرار

يكون النظام غير مستقر وإن لم يحقق عنصر واحد من الوصف: 14130.jpgلـ الوصف: 14121.jpgشرط الاستقرار.

توصيف آخر للاستقرار: يكون النظام مستقرًا ويكون محدود الدخل والخرج bound-in, bound out (BIBO) إذا كان خرجه محدودًا لأيِّ دخل محدود. وهذا التعريف أعمّ من التعريفات السابقة بقطع النظر عن كون النظام خطيًّا أو لا متغيرًا زمنيًّا.

يمكن تفسير استقرار الأنظمة الوحيدة الدخل والوحيدة الخرج (SISO) وفق التعريف (BIBO) كما يلي:

بافتراض أن الدخل محدود الوصف: 14112.jpgلكلِّ الوصف: 14103.jpgحيث C1 هو عنصر منتهٍ ثابت، وبافتراض أن استجابة النظام الوصف: 14093.jpgمحدودة أيضًا مقابل هذا الدخل لكلِّ الوصف: 14085.jpg، حيث C2 هو عنصر منتهٍ ثابت، يقال إن النظام مستقر استقرارًا محدود الدخل محدود الخرج (BIBO) إذا كانت مخارج النظام الموافقة محدودة لجميع المداخل المحدودة الممكنة.

مثال:

دراسة استقرار نظام موصف في فضاء الحالة، حيث:

الوصف: 14076.jpg

الحل :

يكون شعاع الحالة لكلّ الوصف: 14067.jpg(المعادلة 13):ِ

الوصف: 14057.jpg

ويكون شرط الاستقرار التقاربي للشعاع x(t) (المعادلة 14):

الوصف: 14046.jpg

وهو كافٍ ليكون النظام مستقرًا هامشيًّا لأن الوصف: 14037.jpgلكلِّ الوصف: 14028.jpgو الوصف: 14020.jpg

إن مميزة متعدد الحدود للنظام هي (المعادلة 15):

الوصف: 14011.jpg

والقيم الخاصة للمصفوفة A تساوي -1 و -2، وكلاهما يقع في النصف الأيسر من المستوي العقدي، لذلك يعدّ النظام مستقراً تقاربيًّا.

وتعطى الاستجابة النبضية للنظام وفق المعادلة (16):

الوصف: 14002.jpg

حيث M هي مصفوفة تحويل المصفوفة A إلى الشكل القطري الوصف: 13992.jpg(المعادلتان 17 و 18).

الوصف: 13983.jpg

الوصف: 13974.jpg

بتطبيق شرط الاستقرار التقاربي (المعادلة 19):

الوصف: 13964.jpg

يكون النظام مستقرًا تقاربيًّا.

عند تحريض النظام بدخل محدود الوصف: 13953.jpgيكون خرجه (المعادلة 20):

الوصف: 13942.jpg

ومن ثمَّ يكون النظام مستقرًا استقرارًا محدود الدخل ومحدود الخرج BIBO.

معايير (شروط) الاستقرار

وهي معايير تقدِّم المعلومات ذات الصلة المباشرة بشأن استقرار النظام من دون تطبيق تعريفات الاستقرار ومن دون الحاجة إلى إجراءات عددية معقدة. والمعايير الأكثر انتشارًا هي:

1 -المعايير الجبرية:

تكون متاحة مع إعطاء معلومات تتعلق بتوضع جذور كثير الحدود في النصف الأيسر أو الأيمن للمستوي العقدي. منها: معيارا روث Routh وهورفيتز Hurwitz اللذان يُستعملان لدراسة استقرار الحلقات المغلقة مباشرة من دون اللجوء إلى توابع تحويل للدارة المفتوحة.

-معيار نايكويست Nyquist

يشير إلى استقرار أنظمة الحلقة المغلقة، ويستند إلى مخطط نايكويست لتابع تحويل الحلقة المفتوحة.

-معيار بود Bude:

هو أساسًا معيار نايكويست الذي جرى توسيعه ليشمل مخططات بود لتابع تحويل الحلقة المفتوحة.

-معيار نيكولز Nichols:

هو أساسًا معيار نايكويست الذي جرى توسيعه ليشمل مخططات نيكولز لتابع تحويل الحلقة المفتوحة.

-معيار توضع الجذور:

طريقة تحديد توضع جذور متعدد الحدود المميز لنظام الحلقة المغلقة عندما يتغير واحد أو أكثر من مُوسطات parameters النظام (ثوابت ربح النظام).

-معيار ليابونوف Lyapunov:

يستند إلى خصائص توابع ليابونوف للنظام، ويمكن تطبيقه على الأنظمة الخطية واللاخطية.

استقرار المنظومات اللاخطية

• الاستقرار وفق معنى ليابونوف:

تستند مقاربة ليابونوف إلى المعادلات التفاضلية التي تصف النظام وتقدم معلومات عن استقراره من دون اشتراط حل المعادلات.

يمكن تجميع نتائج ليابونوف في طريقتين أساسيتين: طريقة ليابونوف الأولى والثانية.

يُعطى توصيف النظام في فضاء الحالة بالنموذج الرياضي التالي (المعادلة 21).

الوصف: 13934.jpg

حل المعادلة:

الوصف: 13925.jpg

تعريف توازن النظام:

يسمى الشعاع الوصف: 13917.jpgبحالة توازن النظام

الوصف: 13908.jpg

إذا حقق العلاقةالوصف: 13899.jpg لجميع قيم t.

لتحديد حالات التوازن ليس من الضروري حل المعادلات الديناميكية الوصف: 13889.jpg، ولكن ينبغي حل المعادلات الجبرية الوصف: 13881.jpgفقط.

عندما يكون النظام خطيًّا غير متغير مع الزمن - أي الوصف: 13872.jpg- فإن هناك حالة توازن وحيدة عندما يكون الوصف: 13859.jpg، وله عدد لانهائي من حالات التوازن عندما يكون الوصف: 13849.jpg.

عندما يكون النظام غير خطي توجد حالة واحدة أو أكثر من حالات التوازن. ويمكن إزاحة كل حالة توازن عن مبدأ الإحداثيات باستخدام التحويل المناسب بحيث تكون حالة التوازن الجديدة محققة للشرط الوصف: 13839.jpgلجميع قيم t.

تعريف الاستقرار

تكون حالة التوازن الوصف: 13831.jpgللنظام

الوصف: 13821.jpg

مستقرة إذا توافر لأيِّ رقم حقيقي الوصف: 13812.jpgرقمٌ حقيقيالوصف: 13803.jpg، فإذا كان الوصف: 13794.jpgفإن الوصف: 13784.jpgلجميع قيم t.

إذا لم تعتمد الوصف: 13776.jpgعلى الوصف: 13766.jpgتكون حالة التوازن الوصف: 13762.jpgمستقرة بانتظام.

يوضح الشكل (2) حالة توازن النظام الوصف: 13751.jpgبوجود متغيرين. يمكن تمييز المناطقالوصف: 13741.jpg والوصف: 13731.jpg داخل الدائرتين اللتين مركزهما الوصف: 13723.jpgوأنصاف أقطارهما الوصف: 13714.jpgو الوصف: 13706.jpg.

تتكون المنطقة الوصف: 13697.jpgمن جميع النقاط التي تحقق الشرط الوصف: 13686.jpg.

لأيِّ الوصف: 13676.jpgيوجد الوصف: 13668.jpgبحيث - انطلاقًا من الحالة الابتدائية الوصف: 13659.jpgالتي تمتد داخل الوصف: 13648.jpg-يكون مسار الوصف: 13638.jpgمحتوى داخل الوصف: 13630.jpg.

الوصف: 27-2.psd
الشكل (2): حالة التوازن المستقرة

تعريف الاحتواء

يكون الحل الوصف: 13622.jpgللنظام

الوصف: 13613.jpg

محتوى داخلالوصف: 13604.jpg إذا كان هناك لكلِّ الوصف: 13594.jpgثابتالوصف: 13583.jpg، بحيث إذا تحقق الوصف: 13575.jpgفإن الوصف: 13567.jpgلكل ِّالوصف: 13558.jpg. وإذا لم يعتمد الوصف: 13547.jpgعلى الوصف: 13537.jpgكان الحل محتوى داخل الوصف: 13529.jpgبانتظام.

تعريف الاستقرار التقاربي

تكون حالة التوازنالوصف: 13521.jpg للنظام

الوصف: 13511.jpg

مستقرة تقاربيًّا إذا كان النظام مستقرًا، وإذا كان الحل الوصف: 13503.jpgقريباً بما فيه الكفاية من الوصف: 13493.jpgويتقارب من الوصف: 13480.jpgكلما ازداد الزمن.

-طريقة ليابونوف الأولى، الطريقة غير المباشرة:

تستند طريقة ليابونوف الأولى إلى تقريب المعادلة التفاضلية غير الخطية من المعادلة التفاضلية الخطية.

يجري تنفيذ التقريب لكل حالة توازن على حدة، واستنتاج المحافظة على الاستقرار في منطقة صغيرة حول حالة التوازن المعينة فقط؛ لهذا السبب تكون طريقة ليابونوف الأولى ذات قيمة محدودة.

بافتراض أن النظام غير خطي، وبنشر العلاقة الوصف: 13472.jpgوفق سلسلة تايلور حول النقطة الوصف: 13464.jpgتُكتب العلاقة (23):

الوصف: 13454.jpg

الوصف: 13443.jpg

تنطوي المصفوفة الوصف: 13433.jpgعلى أطراف من الدرجة العالية. وإذا كانت الوصف: 13425.jpgهي نقطة التوازن، ينجم عن ذلك أنالوصف: 13416.jpg. وإذا كانت الوصف: 13407.jpgفإن

الوصف: 13399.jpg

ويكون التقريب الأول: الوصف: 13390.jpg

وتستند طريقة ليابونوف الأولى إلى النظرية التالية: إذا كانت جميع القيم الخاصة للمصفوفة A تحتوي على أجزاء حقيقية غير صفرية يمكن استخلاص الاستنتاجات المتعلقة باستقرار النظام اللاخطي في جوار الوصف: 13378.jpgمن دراسة استقرار النظام الخطي الوصف: 13370.jpg.

لقد خفضت نظرية ليابونوف الأولى مشكلة دراسة استقرار الأنظمة غير الخطية إلى طرق راسخة لدراسة استقرار النظم الخطية.

- طريقة ليابونوف الثانية، الطريقة المباشرة:

تستند طريقة ليابونوف الثانية إلى المفهوم التالي: إذا كان للنظام حالة توازن الوصف: 13362.jpgفإن الطاقة الكليّة المخزّنة في النظام تضمحل مع الزمن إلى أن تصل إلى قيمتها الدنيا عند حالة التوازن ؛ لذا يتطلب تحديد استقرار النظام الخطي أو اللاخطي تحديد التابع السلّمي الذي يسمى تابع ليابونوف.

تعريف التوازن

يحقق تابع ليابونوف اللامتغير مع الزمن - المصمّم باستعمال الوصف: 13353.jpg- الشروط التالية لكل الوصف: 13341.jpgولكل قيم الوصف: 13329.jpgفي جوار النقطة الوصف: 13321.jpgالتي تمثل نقطة التوازن:

1 - يكون التابع الوصف: 13313.jpgومشتقاته الجزئية معرفة ومستمرة.

2 - الوصف: 13303.jpg

3 - الوصف: 13295.jpgلكل الوصف: 13286.jpg

4 -الوصف: 13274.jpg لكل قيم الوصف: 13266.jpg

حيث الوصف: 13258.jpg

نظرية الاستقرار:

بما أن النظام معطى بالعلاقة (25):

الوصف: 13249.jpg

وبافتراض أن تابع ليابونوف الوصف: 13237.jpgيمكن أن يكون محددًا لهذا النظام تكون حالة التوازن الوصف: 13226.jpgمستقرة تقاربيًّا فيقال عندئذٍ إن النظام مستقر بمفهوم ليابونوف.

نظرية تابع ليابونوف

بافتراض النظام الخطي اللامتغير مع الزمن هو: الوصف: 13218.jpgحيث الوصف: 13210.jpgوالوصف: 13201.jpg، وبافتراض التابع السلّميالوصف: 13192.jpg، حيث P هي مصفوفة متناظرة حقيقية محددة موجبة، يكون الوصف: 13182.jpgهو تابع ليابونوف للنظام إذا- وفقط إذا- لأيِّ مصفوفة متناظرة حقيقية محدّدة موجبة Q وُجدت مصفوفة متناظرة حقيقية محددة موجبة P بحيث تكون العلاقة (26) محققة:

الوصف: 13170.jpg

مثال:

بافتراض النظام الخطي الوصف: 13161.jpgحيث:

الوصف: 13152.jpg

المطلوب تحديد تابع ليابونوف للنظام.

الحل:

بافتراض أن الوصف: 13143.jpgللتبسيط، فإن الوصف: 13132.jpg

الوصف: 13121.jpg

باعتبار الوصف: 13113.jpg

الاستقرار: (المعادلة 27)

الوصف: 13104.jpg

تنتج المصفوفة (المعادلة 28):

الوصف: 13095.jpg

ويكون تابع ليابونوف (المعادلة 29):

الوصف: 13087.jpg

يجري تحري الوصف: 13078.jpgباستخدام التعريف الوصف: 13067.jpg. ويُحقق الوصف: 13058.jpgالشروط الثلاثة الأولى لتعريف التوازن.

أما الشرط الرابع فإن (المعادلة 30):

الوصف: 13050.jpg

يحقق الوصف: 13041.jpgالشرط الرابع. ومن ثمّ، يكون الوصف: 13029.jpgهو تابع ليابونوف، والنظام مستقر تقاربيًّا.

- طريقة بوبوف:

يمكن تمثيل العديد من الأنظمة الفيزيائية اللاخطية بتغذية خلفية تربط النظام الخطي الديناميكي والعنصر اللاخطي.

الوصف: 27-3.psd
الشكل (3): تمثيل الأنظمة اللاخطية

تعتمد إجرائية تمثيل نظام بهذا الشكل على النظام الخاص المعني حيث لا توجد صعوبة في تمثيل النظام بشكل تغذية خلفية في الحالة التي يحتوي فيها نظام التحكم على عناصر لاخطية فقط. والغريب هو استخدام الاستجابة الترددية للنظام الخطي المستندة إلى أدوات التحكم التقليدية مثل مخطط نايكويست ومعياره.

يقال إن النظام مستقر بالمطلق إذا كان لديه نقطة توازن مستقرة تقاربيًّا وموحدة بشكل شامل، وتقع في مبدأ الإحداثيات لكل اللاخطيات في القطاع المعني.

تُعطي دائرة بوبوف ومعاييره للنطاق الترددي الشروط الكافية للاستقرار بصفة إيجابية دقيقة وحقيقية لتوابع النقل المؤكدة.

يمكن تطبيق هذين المعيارين بيانيًّا في حالة نظام وحيد الدخل-وحيد الخرج.

دراسة سلوك نظام ممثل بمعادلات الحالة بافتراض أن الدخل r = 0: (المعادلة 31)

الوصف: 13019.jpg

حيث الوصف: 13010.jpgقابلةللتحكم و(A,C) قابلة للرصد، والتابع من دون ذاكرةالوصف: 13002.jpg المتغير مع الزمن، واللاخطي، والمتقطع باستمرار.

تعريف انتماء تابع من دون ذاكرة:

يقال عن التابع من دون ذاكرة

الوصف: 12993.jpgإنه ينتمي إلى القطاع:

1- الوصف: 12985.jpgإذا كان الوصف: 12975.jpg

2- الوصف: 12964.jpgإذا كان الوصف: 12956.jpg

3-الوصف: 12948.jpg مع الوصف: 12939.jpgإذا كان الوصف: 12928.jpg

الوصف: 27-4.psd
الشكل (4): قطاع التابع من دون ذاكرة

تعريف الاستقرار المطلق Absolate stability:

يقال إن نظام الدارة المغلقة مستقر استقرارًا مطلقًا في القطاع الوصف: 12916.jpgإذا كان مبدأ الإحداثيات موحدًا بشكل شامل ومستقرًا تقاربياً لمجمل اللاخطية الموجودة في القطاع المعني، ويكون مستقرًا استقرارًا مطلقًا في النطاق المنتهي إذا كان موحدًا ومستقرًا تقاربياً.

معيار بوبوف:

يمكن تطبيق معيار بوبوف إذا تحققت الشروط التالية:

1- يحقق التابع اللاخطي الثابت مع الزمن الوصف: 12908.jpgشرط القطاع الوصف: 12900.jpg.

2- يحقق التابع اللاخطي الثابت مع الزمن الوصف: 12890.jpgالشرط الوصف: 12882.jpg.

3- الوصف: 12872.jpgمع الوصف: 12861.jpg

4- توضع أقطاب الوصف: 12853.jpgفي الجزء الأيسر من المستوي أو على المحور التخيلي.

5- استقرار النظام هامشيًّا في الحالة الشاذة

نظرية الاستقرار المطلق:

يكون نظام الحلقة المغلقة مستقرًا استقرارًا مطلقًا إذا كان: الوصف: 12845.jpgحيث الوصف: 12836.jpg، وكان الثابت q يحقق العلاقة (32):

الوصف: 12824.jpg

التفسير البياني:

يُعرف مخطط بوبوف P بالعلاقة (33):

الوصف: 12814.jpg

يكون نظام الحلقة المغلقة مستقرًا استقرارًا مطلقًا إذا وقع P إلى يمين الخط الذي يقطع النقطة الوصف: 12805.jpgبميلالوصف: 12796.jpg.

الوصف: 27-5.psd
الشكل (5): دالة استقرار المنحني الترددي لتابع التحويل

مثال:

بافتراض نظام من الدرجة الثانية (المعادلة 34):

الوصف: 12787.jpg

المطلوب رسم دالة استقرار النظام.

يأخذ هذا النظام الشكل المصفوفي المطلوب لاستخدام معيار بوبوف إذا كانت الوصف: 12779.jpg، ومن ثمّ الوصف: 12770.jpg، حيث الوصف: 12759.jpg:

الوصف: 12751.jpg

بافتراض أن الوصف: 12743.jpgتنتمي إلى القطاع الوصف: 12733.jpg، حيث الوصف: 12722.jpg، ثم

الوصف: 12711.jpgتنتمي إلى القطاع الوصف: 12703.jpg، حيثالوصف: 12695.jpg، يأخذ شرط بوبوف الصيغة (35)

الوصف: 12685.jpg

تكون هذه المتراجحة محققة لجميع القيم الوصف: 12677.jpgو k المنتهية الموجبة، باختيارالوصف: 12668.jpg.

حتى عندالوصف: 12655.jpg، تكون المتراجحة السابقة محققة لجميع قيمالوصف: 12647.jpg. وهكذا يكون النظام مستقرًا استقرارًا مطلقًا لكل اللاخطية الوصف: 12639.jpgفي القطاع الوصف: 12630.jpg، حيث الوصف: 12617.jpgتكون صغيرة اعتباطيًّا.

يبيّن الشكل (6) مخطط بوبوف لـ الوصف: 12606.jpgفي حالة الوصف: 12598.jpg، حيث يقارب مخطط بوبوف الخط المائل بميل يساوي الواحد عند مبدأ الإحداثيات من الجانب الأيمن. لذلك فإنه يمتد إلى يمين أي خط بميل أقل من الواحد، ويقطع المحور الحقيقي في المبدأ ويتقارب كلما اتجهت الوصف: 12590.jpgنحو الوصف: 12581.jpg.

الوصف: 27-6.psd
الشكل (6): دالة استقرار المنحني الترددي للنظام

•معيار الدائرة:

عند السماح بأن تكون النظم اللاخطية متغيرة مع الزمن فإن معيار بوبوف لا يعود قابلاً للتطبيق. ويعطي معيار الدائرة الأداة لتحليل الاستقرار المطلق للاخطية المتغيرة مع الزمن.

يُعرَّفالوصف: 12573.jpg ليكون قرصًا مغلقًا في المستوي العقدي الذي قطره القطعة المستقيمة التي تربط النقاط الوصف: 12564.jpgو الوصف: 12553.jpg.

الوصف: 27-7.psd
الشكل (7)

وبافتراض أن النظام سلّمي (المعادلة 36):

الوصف: 12544.jpg

حيث الوصف: 12533.jpgهي تحقيق الحد الأدنى لـ G(s) و الوصف: 12524.jpg. يكون النظام مستقرًا استقرارًا مطلقًا إذا تحقق أحد الشروط التالية بحسب الاقتضاء:

1-إذا كانالوصف: 12512.jpg فلا يُدخل مخطط نايكويست لـالوصف: 12502.jpg القرص الوصف: 12494.jpgولا يحيطه m مرة في اتجاه عكس عقارب الساعة، حيث m هو عدد أقطاب الوصف: 12486.jpgمع الأجزاء الحقيقية الموجبة.

2-إذا كانالوصف: 12477.jpg فإن الوصف: 12469.jpgيكون مستقرًا وفق هورفيتزو وينتمي مخطط نايكويست لـ الوصف: 12460.jpgإلى يمين الخط العمودي المعرف بـــ الوصف: 12448.jpg.

3-إذا كان الوصف: 12440.jpgفإن الوصف: 12431.jpgيكون مستقرًا وفق هورفيتز، وينتمي مخطط نايكويست لـ الوصف: 12422.jpgإلى داخل القرص الوصف: 12411.jpg.

إذا تحقق شرط القطاع فقط في المجال [a,b] فإن الشروط المذكورة آنفًا تضمن أن النظام مستقر استقرارًا مطلقًا في نطاق منتهٍ.

مراجع للاستزادة:

- P. Kundur, Definition, Classification of Power System Stability, IEEE Trans on power system, vol. 19, nb 2, 2004.

- P. N. Paraskevopoulos, Modern Control Engineering, 2002.

 


التصنيف : هندسة التحكم والأتمتة
النوع : هندسة التحكم والأتمتة
المجلد: المجلد الثاني
رقم الصفحة ضمن المجلد : 0
مشاركة :

اترك تعليقك



آخر أخبار الهيئة :

البحوث الأكثر قراءة

هل تعلم ؟؟

عدد الزوار حاليا : 547
الكل : 29585052
اليوم : 39968