التحليل العددي

أ ب ت ث ج ح خ د ذ ر ز س ش ص ض ط ظ ع غ ف ق ك ل م ن هـ و ي

التحليل العددي

تحليل عددي

Numerical analysis -

برلنت مطيط

تطور التحليل العددي	الحل العددي لجملة المعادلات الخطية
البرمجة الرياضية	التطبيقات في الطب والهندسة والعلوم
تقنيات الأمثَلَة	الأبحاث الراهنة
الحل العددي للمعادلات التفاضلية

التحليل العددي numerical analysis هو فرع من الرياضيات يختص بتطوير الخوارزميات من أجل حل مختلف مسائل الرياضيات المستمرة، وهو فرع واسع الطيف له صلة وثيقة بعلوم الحاسوب والهندسة والعلوم العامة وغيرها.

تطور التحليل العددي

يجد التحليل العددي جذوره في الحضارات القديمة كالمصرية والإغريقية والهندية والصينية والعربية الإسلامية. ففي العام 1650 قبل الميلاد وضع ريند بابيروس Rhind Papyrus في مصر خوارزمية إيجاد حل لمعادلة خطية. كما استنتج أرخميدس Archimedes أن قيمة العدد أكبر من وأقل من في العام 200 قبل الميلاد. ومهدت الطرائق الحسابية التي وضعها إسحاق نيوتن Isaac Newton وغوتفريد ليبنتز Gottfried Leibniz -كلاً على حدة في أواخر القرن السابع عشر- الطريق أمام تطور علم التحليل العددي.

وتوالت في القرنين الثامن عشر والتاسع عشر مساهمات العلماء في إيجاد الحلول العددية للمسائل الرياضية مثل أولرEuler ولاغرانج Lagrange وغاوص Gauss وهيلبرت Hilbert وجاكوبي Jacobi وفورييه Fourier وغيرهم.

وعلى الرغم من مساهمات العلماء المهمة في إيجاد حلول عددية تقريبية للمسائل الرياضية منذ القدم؛ فإنّ التحليل العددي لم يصبح فرعاً رياضياً مستقلاً حتى القرن العشرين.

ويُعدّ بحث نيومان Neu mann وغولدشتاين Goldstein في العام 1947 حول أخطاء التقريب rounding errors والحوسبة العلمية بعنوان «إيجاد مقلوب مصفوفات من مراتب عليا عددياً؛ انطلاقة التحليل العددي الحديث. كما كان لجيمس ويلكنسون James H. Wilkinson مساهمة قيّمة في إرساء علم التحليل العددي.

البرمجة الرياضية

تعرّف البرمجة الرياضية mathematical programming -والتي يُطلق عليها أحياناً الأمثَلَة optimization- بأنها العلم الذي يبحث في تحديد القيمة العظمى (الشكل 1) أو القيمة الصغرى لدالة (تابع) function محددة، تسمى دالة الهدف objective function. وتعتمد الدالة على عدد محدد من المتغيرات، قد تكون مرتبطة بعضها مع بعض بمجموعة من القيود constraints.

الشكل (1) مثال على القيمة العظمى لدالة.

تهتم البرمجة الرياضية بدراسة طرائق الحل وكيفية بنائها. وللبرمجة الرياضية تطبيقات عديدة ومهمة في مختلف مجالات الحياة كالعلوم، والهندسة، والاقتصاد، مثل تصميم المفاعلات الكيميائية ومحركات الطائرات والمباني والجسور، وصناعة اللدائن (البلاستيك)، ومسائل النقل والإنتاج.

وفيما يأتي مثال على البرمجة الرياضية يوضح دالة الهدف والقيود. بفرض المسألة هي إيجاد القيمة الدنيا للدالة المبيّنة بالعلاقة (1):

وبحيث تتحقق الشروط المبيّنة بالعلاقتين (2) و(3):

تمثل دالة الهدف، و المتغيرين، وهما مقيدان بالشرطين المبيّنين بالعلاقتين (2) و(3).

إذا كانت الدالة والشروط المعطاة خطية بالنسبة إلى المتغيرين يُطلق على المسألة اسم البرمجة الرياضية الخطية، وإلا دُعيت بالبرمجة الرياضية غير الخطية.

وتُعطى الصياغة العامة للبرمجة الرياضية بالعلاقة (4):

وذلك ضمن القيود المعطاة بالعلاقة (5):

إن أكثر أنواع البرمجة الرياضية سهولة هي التي تكون فيها الدوال و خطية. أي إن العلاقتين (6) و(7) محققتان:

تقنيات الأمثَلَة

هناك طرائق عديدة لتحديد القيمة الحدية لتابع لمتغير أو لعدة متغيرات.

1- طرائق البحث المجالية

تُعنى طرائق البحث المجالية bracketing search methods بإيجاد القيمة الدنيا للتابع ضمن مجال معطى، حيث يجري تقدير قيمة التابع عدة مرات والبحث عن القيمة المحلية الصغرى. وللتقليل من الخطوات التقديرية توجد حاجة إلى استراتيجية معيّنة لتحديد موضع بدء تقدير التابع. ثمة طريقتان فعّالتان لتحقيق ذلك، هما طريقة النسبة الذهبية golden ratio، وطريقة بحث فيبوناتشي Fibonacci .

2- إيجاد القيمة الدنيا باستخدام المشتق

ليكن التابع أحادي التمثيل في المجال وله القيمة الدنيا الوحيدة عند ، وليكن المشتق معرّفاً عند جميع النقاط في [a,b]. ولتكن القيمة الابتدائية في [a,b]، إذا كان ؛ فإن القيمة الدنيا توجد على يمين (الشكل 2-أ). وإذا كان ؛ فإن القيمة الدنيا توجد على يسار (الشكل 2-ب).

الشكل(2) استخدام لإيجاد القيمة الدنيا للتابع أحادي التمثيل في المجال.

3- طريقة نيلدر- ميد

تُعدّ طريقة نيلدر- ميد Nelder-Mead، أو طريقة الانحدار وحيد الاتجاه downhill simplex؛ تقنية أمثَلَة غير خطية بسيطة وشائعة الاستخدام. وتصلح من أجل إيجاد القيمة الصغرى minimize لتابع (دالة) في فضاء كثير الأبعاد. وتتمثل الإجرائية- في حالة وجود متغيرين- في إيجاد مثلث، وتجري مقارنة قيم التابع عند رؤوس المثلث، ويستبعد الرأس الذي يكون للدالة عنده أكبر قيمة، ويستبدل برأس جديد. وهكذا يتشكل مثلث جديد، ويستمر البحث. ومن ثمَّ تولّد الإجرائية سلسلة من المثلثات من أشكال مختلفة، وبذلك تصغر قيم التابع، ويصغر معها حجم المثلث؛ حتى الحصول على القيمة الصغرى للتابع.

4- طريقة بويل

تمتاز طريقة بويل Powell بأنها لا تحتاج إلى استخدام المشتقات لإيجاد القيمة الصغرى للتابع المعطى. ويُعدّ بويل أول من اكتشف إيجاد القيمة الصغرى بوساطة إدخال مجموعة أشعة مستقلة، والتي يمكن عند بدء الإجرائية الافتراض بأنها أشعة واحدية. ثم يجري في المرحلة الثانية توليد سلسلة من النقاط اعتماداً على العلاقة ، وفيها يجري تعيين بتصغير الدالة ؛ باستخدام طريقة بحث النسبة الذهبية أو فيبوناتشي على المجال الذي يكون عليه التابع أحادي التمثيل (وحيد المتغير). ويُحافظ على الأشعة كما هي، باستثناء المركّبة الأخيرة التي يجري تغييرها استناداً إلى مفهوم المتوسط الحسابي، وذلك بافتراض أن ، وتكرر الإجرائية حتى الحصول على مجموعة أشعة تقترب من الحل الفعلي.

5- طريقة نيوتن

حيث إنه يمكن تقريب التوابع لمتغير واحد إلى حدوديات (كثيرات حدود) من الدرجة الثانية، (على سبيل المثال باستخدام حدوديات لاغرانج Lagrange polynomials)؛ استخدم نيوتن مفهوم التقريب لحدوديات من الدرجة الثانية بالاعتماد على منشور تايلور Taylor، ثم اعتمد على هذا التقريب لإيجاد القيمة الصغرى المحلية؛ باستخدام المشتق الجزئي الأول والثاني للتابع المطلوب.

بفـرض تــابعاً للمتغير، حيث ، وبفرض المشتقات موجودة من أجل ؛ تعطى كثيرة حدود تايلور من الدرجة الثانية من أجل دالة عند بالعلاقة (8):

حيث تمثل كثيرة حدود من الدرجة الثانية ذات متغير. وتعرّف مصفوفة هِسيان Hessian matrix ذات البعد من أجل عند - ويرمز لها بـ - بالعلاقة (9):

ويكون لكثير الحدود قيمة صغرى عندما تتحقق العلاقة (10):

الحل العددي للمعادلات التفاضلية

يمكن وصف العديد من الظواهر الفيزيائية باستخدام المعادلات التفاضلية، لذا تحظى دراسة هذه المعادلات بأهمية كبيرة في الرياضيات البحتة والرياضيات التطبيقية. وقد أسهم كثير من العلماء في دراسة المعادلات التفاضلية العادية، مثل كوشي Cauchy وبوانكاريه Poincaré وهيلبرت. وثمة نوعان من المعادلات التفاضلية: المعادلات التفاضلية العادية Ordinary Differential Equations (ODE) والمعادلات التفاضلية الجزئية Partial Differential Equations (PDE).

تتضمن المعادلة التفاضلية العادية متغيراً مستقلاً واحداً، أما المعادلة التفاضلية الجزئية؛ فتتضمن عدداً من المتغيرات المستقلة. ويُرمز للمعادلة التفاضلية العادية بالرمز أو أو، ويُعطى الحل بالصيغة المبيّنة بالعلاقة (11):

حيث cn عبارة عن ثوابت.

يشتمل هذا النوع من المعادلات التفاضلية على نوعين من المسائل: مسائل القيم الابتدائية initial value problem؛ أي التي يتوفر من أجلها شرط ابتدائي على المتغيرات، ومسائل القيم الحدية boundary value problem؛ التي يكون فيها للمعادلة التفاضلية شرط ابتدائي إضافةً إلى شرط آخر عند نهاية مجال المتغير المستقل. ويمثل هذين الشرطين نقطتان يجب أن تمر الدالة بهما، والتي تمثل حل المعادلة التفاضلية.

تعتمد الطرائق العددية المستخدمة في حل المعادلة التفاضلية العادية من المرتبة الأولى- والتي تُعطى بالعلاقة (12)- على معرفة y0 قيمة المتغير في لحظة البدء، ثم حساب من أجل و من أجل حيث وهكذا حتى من أجل.

1- طرائق الحل العددي للمعادلات التفاضلية العادية

تُصنَّف هذ الطرائق في فئتين: الطرائق ذات الخطوة الواحدة، ومن أشهرها طريقة رنغ–كوتا من المرتبة الرابعة Runge-Kutta fourthorder، والطرائق ذات الخطوات المتعددة، ومن أشهرها: طرائق آدمز-باشفورت الصريحة Adams-Bashforth explicit methods، وطرائق آدمز-مولتون الضمنية Adams-Moulton implicit methods.

2- طرائق الحل العددي للمعادلات التفاضلية الجزئية

من أشهر هذه الطرائق: طرائق الفروق المنتهية finite diference methods، وطرائق العناصر المنتهية finite element methods، والطــرائق التكــرارية iterative methods .

الحل العددي لجملة المعادلات الخطية

يُعدّ حل جملة المعادلات الخطية من المواضيع المهمة في العلوم الرياضية والهندسية والفيزيائية. وتصنف الطرائق العددية المستخدمة لحل جملة المعادلات الخطية في فئتين: الأولى هي الطرائق المباشرة مثل طريقة غاوس (غوص) المحسنة modified Gaussian، وطريقة غاوس-جوردان Gauss-Jordan، وتقنيات المرتكز (التمحور) الجزئي partial pivoting، وطرائق التحليل إلى عوامل العليا والدنيا LU factorization، مثل طريقة كروات Crout، وطريقة دوليتل Doolittle، وطريقة تشوليسكي Cholesky.

أما الفئة الثانية فتشتمل على الطرائق التكرارية مثل طريقة جاكوبي وطريقة غاوس- سيدل Gauss-Seidel وطريقة الاسترخاء المفرط التتابعي Successive Over-Relaxation (SOR).

التطبيقات في الطب والهندسة والعلوم

يعتمد التطور الحالي على التحليل العددي للعلوم كافةً. ففي الهندسة الطبية يستخدم التحليل العددي من أجل نمذجة المنظومات ومحاكاتها، وفي علم الحياة يفيد التحليل العددي في دراسة النماذج العددية للمنظومات البيولوجية وتحسين دقتها.

كما يُستخدم في جميع مجالات الهندسة مثل نمذجة السيارات وفي ميكانيك السوائل، وتستخدم تقنيات الأمثَلَة في بناء الجسور وإيجاد الطاقة المثلى للحمولة. أما في الفيزياء فيستخدم التحليل العددي في حساب درجات الحرارة و تدفقها تحت شروط حدية محددة، وفي نمذجة نقل الحرارة بوساطة الأنابيب لأغراض التبريد أو التدفئة.

الأبحاث الراهنة

تُعنى الأبحاث والدراسات في مجال التحليل العددي والحوسبة العلمية بتطوير خوارزميات عددية وتحليلها، وبتنفيذ هذه الخوارزميات على بنى حاسوبية حديثة، واستخدام الطرائق العددية مترافقةً مع النمذجة الرياضية لحل مسائل عملية واسعة النطاق. ومن محاور البحث الراهنة: ديناميك الموائع المحوسب computational fluid dynamics، والطرائق التكرارية في الجبر الخطي العددي، وخوارزميات الحواسيب التفرعية، ونظرية التقريب، والحل العددي للمعادلات التفاضلية الجزئية، والحل العددي للمعادلات التفاضلية العشوائية stochastic، والطرائق العددية للإجرائيات العشوائية والتنقيب في المعطيات data mining، ونمذجة جودة الهواء، والاقتصاد الحسابي، والطرائق العددية التفرعية لدراسة الطقس.

مراجع للاستزادة:

- R. L. Burden, J. D. Faires, Numerical Analysis, Cengage Learning, 2011.

- K. Lange, Numerical Analysis for Statisticians, Springer, 2010.

- G. S. Rao, Numerical Analysis, New Age International, 2006.

- T. Sauer, Numerical Analysis, Pearson Education, 2012.