التحليل الدالي

بحث متقدم

أ ب ت ث ج ح خ د ذ ر ز س ش ص ض ط ظ ع غ ف ق ك ل م ن هـ و ي

التحليل الدالي

تحليل دالي

Functional analysis -

التحليل الدالِّي

خالد حلاوة

الفضاءات الشعاعيّة الطبولوجيّة

المؤثّرات الخطّيّة بين فضاءات الدوالّ

المؤثّرات الخطّيّة المتراصّة

المبرهنات الكبرى في التحليل الدالّي

التطبيقات

التحليل الدالِّي (التابعي) functional analysis فرعٌ من فروع الرياضيّات يهتمّ بدراسة بنىً طبولوجيّة topological جبريّة محدّدة، وطرائق تطبيقها على المسائل التحليليّة، حيث تُزوّد فضاءات شعاعيّة داليّة بطبولوجيا مشتقّة من نظيم norm معرّف على هذه الفضاءات، بغرض دراسة مؤثّرات خطيّة في هذه الفضاءات دراسةً تحليليّة. ومن ثمَّ يعتمد التحليل الدالي أساساً على فرعين من الرياضيّات هما الجبر والطبولوجيا، ويمكن عدّه تعميماً للتحليل الرياضي التقليدي، حيث تصبح كثير من النتائج المعروفة في التحليل التقليدي حالات خاصّة من نتائج أكثر عمقاً وتطوّراً. وكذلك يُمكّن التحليل الدالِّي من إعادة صياغة الكثير من المبرهنات، وكذلك استنباط نتائج جديدة ومهمّة.

ولإيضاح موقع التحليل الدالي بالنسبة إلى الحساب التفاضلي والتكاملي يُمكن النظر إلى دراسة الدوال على أنّها تعاقب لثلاثة مستويات من الدراسة:

- المستوى الأوّل: يتعلّق بدراسة الدالّة إفرادياً، بمعنى دراسة خصائصها المختلفة مثل مجموعة تعريفها، وقيمها الحدّيّة، وتحدّبها، ومقارباتها، ورسم خطّها البيانيّ.

- المستوى الثاني: يتعلّق بدراسة خصائص أكثر عموميّةً لمجموعات الدوالّ، كالمفاهيم المختلفة للاستمرار، وتقارب متتاليات الدوال، والروابط بين هذه الخصائص.

- المستوى الثالث: يهتمّ بدراسة فضاءات الدوال، والمؤثّرات الخطّيّة بين هذه الفضاءات. وفي هذا الإطار يُمكن إعادة صياغة بعض النتائج المتعلّقة بمجموعات الدوال على نحو أكثر عموميّة؛ فعلى سبيل المثال يُمكن التعبير عن النتيجة «التقارب المنتظم يقتضي التقارب في الفضاء L2» بالقول إنّ دالّة ما من فضاء دالّي إلى آخر مستمرّة.

لقد طُوّر التحليل الدالّي في البداية للإجابة عن أسئلةٍ طُرحت في إطار حلّ المعادلات التفاضليّة الجزئيّة، حيث حُلّ الكثير من مسائل الوجود المتعلّقة بتلك المعادلات اعتماداً على نتائج في التحليل الدالّي؛ لذلك يُعدّ التحليل الدالّي والمعادلات التفاضليّة الجزئيّة فرعين مرتبطين عضويّاً.

الفضاءات الشعاعيّة الطبولوجيّة

تتمثل الفكرة الأساسيّة في التحليل الدالّي في تزويد فضاء شعاعي (متّجهي) vector space ما بطبولوجيا تمكّن من دراسة الدوال المعرّفة على هذا الفضاء، والتي تأخذ قيمها في فضاء آخر بشكل تحليلي. ومن الوسائل المهمّة لتحقيق ذلك تزويد الفضاء الشعاعي E بنظيم فيصبح فضاءً شعاعيّاً منظّماً، ويُرمز إليه بالرمز ، أو بجداء سلّمي فيصبح فضاءً شعاعيّاً مزوّداً بجداء سلّمي ويُرمز إليه بالرمز .

تُعدّ فضاءات باناخ Banach من الأمثلة المهمّة على الفضاءات الشعاعيّة المنظّمة (وهي فضاءات شعاعيّة منظّمة وتامّة). ومن فضاءات باناخ المهمّة فضاءات الدوال ، مع ، وفضاءات المتتاليات ، مع .

ومن الفضاءات المهمّة المزوّدة بجداء سلّمي فضاءات هيلبرت Hilbert (وهي فضاءات شعاعيّة مزوّدة بجداء سلّمي وتامّة). ومن فضاءات هيلبرت فضاء الدوال . وفضاء المتتاليات، وكذلك فضاءات سوبوليف Sobolev التي يُرمز إليها ، حيث مجموعة مفتوحة من .

المؤثّرات الخطّيّة بين فضاءات الدوالّ

إنّ دراسة المؤثّرات الخطّيّة بين فضاءات الدوالّ functionals هي إحدى الوسائل المهمّة لحل مسائل المعادلات التفاضليّة الجزئية، إذ تُكتب المسألة بالشكل ، حيث مؤثّر خطّي، و عنصر معلوم. ومن المؤثّرات الخطيّة المؤثّرات المدمجة (المتراصّة) compact.

المؤثّرات الخطّيّة المتراصّة

يُقال عن مؤثّر operator خطّي مستمرّ إنّه متراصّ إذا كانت صورة الكرة الواحديّة وَفق متراصّة نسبيّاً. وتأتي أهميّة هذه المؤثّرات من كونها تقبل تحليلاً طيفيّاً إذا ما كانت هرميتية Hermitian.

يُعدّ التحليل الدالّي حاليّاً من أكثر فروع الرياضيّات اتّساعاً؛ وذلك بسبب نتائجه الكبيرة والمهمّة وتشعّباته الكثيرة وتطبيقاته المتعدّدة.

المبرهنات الكبرى في التحليل الدالّي

تعدّ المبرهنات الآتية من النتائج المهمّة في التحليل الدالّي :

مبرهنة باناخ - ستينهاوس Banach-Steinhaus: ليكن فضاء باناخ، و فضاءً منظماً، و مجموعة جزئيّة غير خالية من فضاء التطبيقات الخطّية المستمرّة من إلى . إذا كان - وذلك أيّاً كان من - فإنّ .
مبرهنة التحليل الطيفي للمؤثّرات المتراصّة: ليكن فضاء هيلبرت قابلاً للفصل (أي ثمة مجموعة قابلة للعد كثيفة فيه)، وليكن مؤثراً هرمتياً متراصّاً من إلى نفسه، عندئذٍ توجد قاعدة هيلبرتيّة للفضاء مؤلّفة من أشعّة ذاتيّة للمؤثّر.

مبرهنة هان - باناخ Hahn-Banach: ليكن

فضاءً شعاعيّاً على

، وليكن

يحقّق العلاقتين (1) و(2):

ليكن فضاءً شعاعيّاً جزئيّاً من ، و شكل خطّي يحقّق العلاقة (3):

عندئذٍ يمكن تمديد إلى شكل خطّي على بحيث يتحقق: .

التطبيقات

إنّ تطبيقات التحليل الدالّي كثيرة جدّاً، وتتناول مجالات متنوعة كالفيزياء وميكانيك الكمّ والاقتصاد، ومن التطبيقات المهمّة للتحليل الدالي دراسة المعادلات التفاضليّة الجزئيّة بوساطة إيجاد صياغة ضعيفة لها. فمثلاً يمكن لمسألة بواسون Poisson المعرّفة بالعلاقة (4):

التي تمثل فيها مجموعة مفتوحة ومحدودة من و، أن تؤول بالصياغة الضعيفة لها إلى مسألة إيجاد الحدّ الأدنى للتابع على الفضاء ، حيث .

أمّا مسألة بواسون - نيومان Poisson-Neumann المعرّفة بالعلاقة (5):

فتؤول إلى مسألة إيجاد الحدّ الأدنى للتابع على الفضاء

حيث .

وأفضت الصياغة السابقة إلى طريقة عدديّة لحل المعادلات التفاضليّة الجزئيّة هي طريقة العناصر المنتهية finite element method، التي ساعدت على الاستفادة من الجبر الخطّي ونتائجه الكثيرة في إيجاد حلول تقريبيّة لتلك المعادلات.

مراجع للاستزادة:

- H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, 2010.

- D.H. Griffel, Applied Functional Analysis, Courier Dover Publications, 2002.

- M. Schechter, Principles of Functional Analysis, American Mathematical Soc., 2002.