التحليل العقدي

أ ب ت ث ج ح خ د ذ ر ز س ش ص ض ط ظ ع غ ف ق ك ل م ن هـ و ي

التحليل العقدي

تحليل عقدي

Complex analysis -

محمد الشيخ

التابع الهولومورفي	مبرهنة كوشي وصيغ كوشي التكاملية
التوابع العقدية الأولية	النقاط الشاذة ومتسلسلة لورانت لتابع
التوابع التوافقية وعلاقتها بالتوابع الهولومورفية	مبرهنة الرواسب
التكامل العقدي	تطبيقات التحليل العقدي في العلوم والهندسة

التحليل العقدي complex analysis -يطلق عليه أيضاً نظرية التوابع لمتحول عقدي- هو أحد الفروع المهمّة من التحليل الرياضي، ويُعنى هذا الفرع بدراسة التوابع العقدية لمتحول عقدي أو لعدة متحولات عقدية، وبتطبيقات هذه التوابع. تُعدّ التوابع العقدية الهولومورفية (التامة التشكل) holomorphic، والتوابع الميرومورفية (الجزيئية التشكل) meromorphic جوهر المفاهيم المدروسة في التحليل العقدي.

التابع العقدي هو كل علاقة f تقرن كل عدد عقدي z من مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد العقدية بعدد عقدي وحيد. أما إذا ربطت هذه العلاقة كل z من منطلقها بـ n عدداً عقدياً فإنها تسمى تابعاً نوني القيمة، وتُسمى تابعاً لانهائي القيم إذا قابلت z بعدد غير منتهٍ من القيم. إذا كانت فيمكن كتابة حيث u وv تابعان حقيقيان كل منهما لمتحولين حقيقيين. يسمى u الجزء الحقيقي لـ f، ويرمز إليه بـ Ref، وv الجزء التخيلي لـ f، ويرمز إليه بـ Imf.

التابع الهولومورفي

يكون تابع عقدي f قابلاً للاشتقاق عند نقطة داخلية لمجموعة تعريفه إذا كانت النهاية موجودة (ومحدودة)، وتسمى هذه النهاية - في حال وجودها- مشتق f عند، ويرمز إليها بـ. ويكون f قابلاً للاشتقاق على مجموعة مفتوحة إذا كان قابلاً للاشتقاق عند كل نقطة منها.

يكون التابع العقدي هولومورفياً عند نقطة إذا كان قابلاً للاشتقاق في جوار لها، أي في قرص مفتوح open disc مركزه هذه النقطة. ويكون هولومورفياً على مجموعة إذا كان هولومورفياً عند نقطة من هذه المجموعة، وبذلك يكون التابع العقدي هولومورفياً على مجموعة مفتوحة إذا كان قابلاً للاشتقاق عليها.

مما يميز التابع الهولومورفي على قرص مفتوح أنه يكون قابلاً للنشر وفق تايلور Taylor في ذلك القرص، وبذلك يكون التابع الهولومورفي على مجموعة مفتوحة تحليلياً على تلك المجموعة وقابلاً للاشتقاق عدداً غير منتهٍ من المرات عليها، وهذا ما يسوغ تسمية التوابع العقدية القابلة للاشتقاق على مجموعة مفتوحة «توابع تحليلية» عوضاً عن هولومورفية. إن التابع الحقيقي حتى إن كان قابلاً للاشتقاق عدداً غير منتهٍ من المرات على مجموعة مفتوحة فليس من الضروري أن يكون تحليلياً عليها. فعلى سبيل المثال التابع المعطى بالعلاقة (1) قابل للاشتقاق عدداً غير منتهٍ من المرات على مجموعة الأعداد الحقيقية بكاملها و غير تحليلي عند الصفر.

التابع الصحيح هو أي تابع هولومورفي على مجموعة الأعداد العقدية C بكاملها.

التوابع العقدية الأولية

يجري الحصول على معظم المفاهيم الأساسية في التحليل العقدي بتمديد التوابع الحقيقية الأولية إلى المستوي العقدي.

توابع كثيرات الحدود العقدية -وهي توابع صحيحة- قاعدة ربطها معطاة بالعلاقة (2):

حيث ثوابت عقدية.
التوابع الكسرية وهي ناتج قسمة كثيري حدود. هذه التوابع تكون هولومورفية على مجموعة الأعداد العقدية فرق (عدا) أصفار المقام.
التابع الأسي النيبري العقدي ويُعرّف على بالمساواة حيث، أو بأنه مجموع لمتسلسلة القوى ، علماً بأن نصف قطر تقارب هذه المتسلسلة هو . إن هذا التابع صحيح. كما أن هو ممدد التابع الأسي الحقيقي إلى حيث إن عندما يكون عدداً حقيقياً.
التابعان المثلثيان ، هولومورفيان على . أما التابع فهو هولومورفي على فرق القيم، والتابع هولومورفي على فرق القيم إن جميع التوابع السابقة ممددات لمثيلاتها الحقيقية إلى المستوي العقدي.
التابع اللوغاريتمي هو التابع المعرف على * بالمساواة حيث هو اللوغاريتم الحقيقي، و هو التعيين الرئيسي لزاوية z، أي القياس لزاوية z المحقق لـ (وتجدر الإشارة إلى أن بعض المراجع تأخذ التعيين الرئيسي في المجال ) وk أيُّ عدد صحيح ـ من الواضح أن تابع لانهائي القيم، وأنه تابع عكسي (بشكل أدق هو علاقة عكسية) للتابع الأسي حيث إن . كما أنه بجعل k اختيارياً مثبتاً يجري الحصول على تابع وحيد القيمة لكنه غير مستمر عند أي نقطة من الجزء غير الموجب من المحور الحقيقي، أي من، والحصول على تابع هولومورفي على C فرق، ويسمى فرعاً هولومورفياً (تحليلياً) للتابع اللوغاريتمي موافقاً لـ . ويُسمى الفرع الهولومورفي (التحليلي) الموافق لـ الفرع الرئيسي للتابع اللوغاريتمي ويُرمز إليه . أي إن الفرع الرئيسي يعطى بالمساواة وهو ممدد التابع اللوغاريتمي الحقيقي من إلى المستوي العقدي، وإن المشتق لأي فرع هو .

ثمة توابع أولية أخرى، منها التوابع القطعية والتوابع المثلثية العكسية والتوابع الأسية التي أساسها عدد عقدي اختياري غير معدوم.

التوابع التوافقية وعلاقتها بالتوابع الهولومورفية

يقال عن تابع حقيقي لمتحولين حقيقيين إنه توافقي harmonic على مجموعة مفتوحة A في إذا كان له مشتقات جزئية حتى المرتبة الثانية مستمرة على A، وإذا تحققت معادلة لابلاس Laplace التفاضلية الجزئية: ، وذلك أياً كانت من A.

يقال عن تابع حقيقي إنه مرافق توافقي harmonic conjugate لتابع على منطقة (مفتوحة ومترابطة) A إذا كانا توافقيين على A ، وكانت مشتقاتهما الجزئية من المرتبة الأولى محققة لمعادلتي كوشي-ريمان Cauchy-Riemann على A، أي:
و أياً كانت من A.

يُبرهن على أن الشرط اللازم والكافي حتى يكون تابع عقدي هولومورفياً على منطقة هو أن يكون مرافقاً توافقياً لـ على . وإذا كان هولومورفياً فإن المشتق يعطى بالمساواة: .

التكامل العقدي

يُعرّف تكامل التابع العقدي لمتحول عقدي على مجال مغلق بالطريقة ذاتها التي يعرّف بها التكامل الحقيقي. ويبرهن على أن تابعاً عقدياً γ(t)=x(t)+iy(t) معرفاً على المجال الحقيقي المغلق قابلٌ للمكاملة على إذا -وفقط إذا- كان كل من جزئيه الحقيقي والتخيلي x وy قابلين للمكاملة على . ويعطى التكامل بالمساواة المبيّنة بالعلاقة (3):

يُطلق اسم منحنٍ عقدي موجه (اختصاراً منحنٍ curve) على أي مسار C في المستوي العقدي ترسمه قيمة لتابع عقدي γ معرف ومستمر على مجال حقيقي مغلق عندما تمسح المجال من إلى ، مع الأخذ بالحسبان جهة المسح، وعدّ النقطة في الممسوحة أكثر من مرة (المقابلة لأكثر من قيمة لـ ) نقاطاً مختلفة من المنحني، عددها يساوي عدد مرات المسح. يُسمى γ ممثلاً وسيطياً للمنحني ، كما يُسمى بداية و نهايته. ويقال عن المنحني إنه أملس smooth إذا كان لـ γ مشتقاً مستمراً على وغير معدوم عند أي نقطة من المجال، وكان γ متبايناً على المجال إذا كان مفتوحاً ()، وعلى المجال و إذا كان مغلقاً. ويقال عن إنه طريق إذا كان نقطةً أو أملس قطعياً، أي مجموعاً لعدد منتهٍ من المنحنيات الملساء المتتابعة ، بمعنى أن بداية هي بداية ، ونهايته هي نهاية ، ونهاية هي بداية في حالة ، ويُكتب للدلالة على ذلك .

يعرّف التكامل لتابع عقدي لمتحول عقدي على منحنٍ عقدي كما يعرف التكامل المنحني لتابع لمتحولين على منحنٍ مستوٍ. ويبرهن أنه إذا كان تابعاً عقدياً مستمراً عند نقاط منحنٍ أملس فإنه يكون قابلاً للمكاملة على ، وإذا كان ممثلاً وسيطياً لـ مسموحاً به (أي يحقق الشروط التي تجعل أملس)، فإن التكامل لـ على يعطى بالعلاقة (4):

بوجه أعم، إذا كان حيث منحنيات ملساء ( أملس قطعياً) يكون قابلا للمكاملة على ، ويعطى تكامله بالعلاقة (5):

ليكن تابعاً عقدياً مستمراً قطعياً على منحنٍ أملس قطعياً مُمثَّل وسيطياً بـ γ المعرّف على ، بمعنى أن f(γ(t))مستمر قطعياً على ، أي لـ عدد منتهٍ من نقاط الانقطاع من النوع الأول، عندئذٍ يكون قابلاً للمكاملة على ، وتكامله عليه يساوي مجموع التكاملات؛ المعتلة في الحالة العامة والمتقاربة، حيث .

يتمتع التكامل العقدي بالخواص الآتية : إذا كان و قابلين للمكاملة على الطريق ، و ثابت عقدي و هو المنحني ممسوحاً بالاتجاه المعاكس فإن و قابلان للمكاملة على وعلى ، وإن و و. وإذا كان قابلاً للمكاملة على طريقين و فإن قابل للمكاملة على و. وإذا كان لكل من الطريق فإن حيث هو طول الطريق.

من الواضح أن التكامل لتابع على طريق يتبع طريق المكاملة. فإذا كان لتكامل تابع - معرّف على منطقة - القيمة ذاتها على كل الطرق الواقعة في والتي بدايتها ونهايتها حيث و نقطتان من ، أي إذا كان التكامل لـ مستقلاً عن الطريق المسلوك في من إلى فإن للتكامل المحدود معنىً، ويكون مساوياً للقيمة المشتركة لتكاملات على الطرق من إلى في . تمكّن المبرهنة الأساسية في الحساب من حساب التكامل عندما يملك المكامل تابعاً أصلياً، وتنص على أنه إذا كان تابعاً مستمراً على منطقة ويملك تابعاً أصلياً عليها فإن العلاقة ( 6) تكون محققة:

أياً كانت و في . وهذا يعني أن التكامل مستقل عن الطريق المسلوك في .

مبرهنة كوشي وصيغ كوشي التكاملية

تُعرّف المنطقة البسيطة الترابط في بأنها منطقة (مفتوحة ومترابطة) الداخل لكل طريق مغلق وبسيط (لا يقطع نفسه) فيها محتوًى بكامله فيها. وتنص مبرهنة كوشي التكاملية على أن التكامل لتابع هولومورفي على منطقة بسيطة الترابط على أي طريق مغلق في تلك المنطقة معدوم. يستفاد من هذه المبرهنة في بيان أن أي تابع هولومورفي على منطقة بسيطة الترابط يملك تابعاً أصلياً عليها، مما يميز تابع هولومورفي على طريق مغلق وداخله أن معرفة قيم هذا التابع على المحيط كافية لمعرفة قيمته عند أي نقطة داخل الطريق. وينتج ذلك من صيغة كوشي التكاملية ، حيث إن هولومورفي على منطقة و ، أي طريق مغلق بسيط موجه عكس عقارب الساعة واقع في و أي نقطة داخل . من الصيغة الأخيرة يمكن استنتاج صيغة كوشي المعممة حيث و يحققان الشروط في الصيغة السابقة.

متسلسلة تايلور

بالاستفادة من صيغة كوشي التكاملية يمكن إثبات أنه إذا كان f تابعاً هولومورفياً عند فإن ، وهذه المساواة صحيحة في أوسع قرص مركزه ومحتوى في منطقة هولومورفية التابع f. تسمى المتسلسلة في الطرف الأيمن من المساواة متسلسلة (نشر) تايلور للتابع f في جوار .

النقاط الشاذة ومتسلسلة لورانت لتابع

إن متسلسلة لورانت Laurent لتابع عقدي هي تمثيل التابع بمتسلسلة تحوي في الحالة العامة حدوداً ذات درجة سالبة. تستخدم هذه المتسلسلة للتعبير عن تابع لا يمكن تمثيله بمتسلسلة تايلور، ويحصل ذلك عندما يكون التمثيل للتابع في قرص مركزه نقطة شاذة معزولة للتابع، أي التابع هولومورفي على القرص ما عدا مركزه (يسمى المركز هنا نقطة شاذة معزولة للتابع)، أو في حلقة التابعُ هولومورفي فيها وله نقاط شاذة داخل قرصها الداخلي. أول من نشر تابعاً عقدياً بمتسلسلة لورانت هو بيير ألفونس لورانت في العام 1843. إذا كان f هولومورفياً على حلقة ، مركزها ونصف قطرها الداخلي ونصف قطرها الخارجي
()، يمكن نشر f وفق لورانت في هذه الحلقة كما هو مبيّن بالعلاقة (7):

حيث ثوابت معطاة بالعلاقة (8):

حيث إن طريق مغلق بسيط موجه عكس عقارب الساعة، يحوي بداخله ويقع في.

إن تقارب المتسلسلة في الحلقة يعني تقارب كل من المتسلسلتين ، ، في الحلقة ومجموعها يساوي مجموع مجموعهما. تسمى الجزء الصحيح لنشر لورانت لـ في الحلقة، و الجزء الرئيسي للنشر لـ . إذا كانت شاذة معزولة لـ يمكن نشر وفق لورانت في حلقة مركزها ونصف قطرها الداخلي معدوم. يسمى في هذا النشر براسب عند ، ويُرمز إليه بالرمز ، وهو يؤدي دوراً مهمّاً في مبرهنة الرواسب. كما يمكن تصنيف النقاط الشاذة وفقاً لهذا النشر. فإذا كان أياً كانت ، تسمى شاذة قابلة للإزالة لـ ، وإذا كان الجزء الرئيسي مجموعاً منتهياً، وهذا يعني وجود بحيث يكون و أياً كانت ، يسمى قطباً من المرتبة لـ ، وأخيراً إذا كان الجزء الرئيسي مجموعاً غير منتهٍ تسمى شاذة أساسية لـ .

مبرهنة الرواسب

تسمى أحياناً مبرهنة الرواسب لكوشي Cauchy’s residue theorem، وهي أداة قوية لحساب التكاملات المنحنية للتوابع الهولومورفية على منحنيات مغلقة. وتعدّ تعميماً لمبرهنة كوشي التكاملية ولصيغها. تنص هذه المبرهنة على أنه إذا كان هولومورفياً على منطقة بسيطة الترابط باستثناء عدد منتهٍ من نقاطها، وإذا كان طريقاً مغلقاً في لا يمر من أي نقطة تكون العلاقة ( 9) محققة:

حيث ، وهو عدد صحيح يسمى عدد لفات حول . إذا كان بسيطاً موجهاً عكس عقارب الساعة فإن إذا كانت داخل ، ويساوي الصفر إذا كانت خارجه. أما إذا كان بسيطاً موجهاً مع عقارب الساعة، و داخله فإن . وتأخذ العلاقة (9) في حالة طريق مغلق بسيط موجه عكس عقارب الساعة الصيغة المبيّنة في العلاقة ( 10):

تطبيقات التحليل العقدي في العلوم والهندسة

ثمة تطبيقات عديدة للتحليل العقدي في فروع مختلفة في الرياضيات كالهندسة الجبرية ونظرية الأعداد وفي الرياضيات التطبيقية، كما يستفاد من مبرهنة الرواسب في حساب بعض التكاملات الحقيقية المعتلة وفي حساب مجاميع بعض المتسلسلات الحقيقية. وللتحليل العقدي تطبيقات في الفيزياء مثل الهدروديناميك والترموديناميك ونظرية الأوتار.

وأخيراً للتحليل العقدي استـــخدامات في حقــول الهندسة، مثل الهندسة النووية وهندسة الفضاء والهندسة الميكانيكية والكهربائية.

مراجع للاستزادة:

- E. Saff, A. Snider, Fundamentals of Complex Analysis with Applications to Engineering, Science, and Mathematics, Pearson, 2003.

- W. Shaw, Complex Analysis with Mathematica, Cambridge University Press, 2006.

- E. M. Stein, R. Shakarchi, Complex Analysis, Princeton University Press, 2003.