الموسوعة العربية | الأعداد المنطقة

أ ب ت ث ج ح خ د ذ ر ز س ش ص ض ط ظ ع غ ف ق ك ل م ن هـ و ي

الأعداد المنطقة

اعداد منطقه

Rational numbers - Nombres rationnels

الأعداد المُنْطَقة الأعداد المُنْطَقة التعريف الرياضي للأعداد المُنْطَقة الخصائص الجبرية للأعداد المُنْطَقة العدد المُنْطَق rational number عدد يمكن كتابته على الشكل ، حيث p و q عددان صحيحان و q لا يساوي الصفر. وحيث إن q يمكن أن يساوي الواحد فإن أي عدد صحيح هو عدد مُنْطَق. التعريف الرياضي للأعداد المُنْطَقة: لتكن Z مجموعة الأعداد الصحيحة، ولتكن K مجموعة الثنائيات المرتَّبة والمعرّفة بالعلاقة (1): ولتعرّف على هذه المجموعة العلاقة الثنائية على النحو الآتي: لأي ثنائيتين و تنتميان إلى K، يكون إذا وفقط إذا تحقق . ويمكن للصفر أن يظهر في المُركّبة الأولى في أي ثنائية (s , m)، لكنه لا يظهر مطلقاً في المُركّبة الثانية منها. ويُبرهن بسهولة على أن العلاقة هي علاقة تكافؤ، ومن ثَم فهي تجزئ K إلى مجموعة صفوف تكافؤ. ويُرمز لصف التكافؤ الذي يحوي الثنائية (s, m) بالرمز [s, m] الذي يُعرّف بالعلاقة (2): ويسمى [s, m] عدداً مُنْطَقاً (كسرياً أو نسبياً)، وتدعى الثنائية (s, m) كسراً حدّاه s و m. ويُرمز للعدد المُنْطق عادة بالرمز s/m، حيث يدعى s البسط وm المقام. وتسمى مجموعة صفوف تكافؤ العلاقة على K مجموعة الأعداد المُنْطَقة، ويُرمز لها بالرمز Q. الخصائص الجبرية للأعداد المُنْطَقة: ليكنأي إن x يقابل [s, m] حيث . يقال عن x إنه موجب إذا وفقط إذا كان: ويُرمز بالرمز Q+ للمجموعة الجزئية من Q المؤلفة من كل الأعداد المُنْطَقة الموجبة. كما يقال عن x إنه سالب إذا وفقط إذا كان . ويرمز بالرمز Q- للمجموعة الجزئية من Q المؤلفة من كل الأعداد المُنْطَقة السالبة. وحيث إن أو أو ، فإن أي عدد من Qهو موجب أو سالب أو صفر. بافتراض ، تُعرّف عمليتا الجمع والضرب على Q بالعلاقتين (3) و (4): تُعرَّف كل عملية جيداً في Q، وكلٌّ منهما تبديلية وتجميعية، وتقبل عملية الضرب التوزيع على الجمع. وتتحقق لكل العلاقتان (5) و (6): أي إن [0 , 1] هو المحايد لعملية الجمع ويُرمز له بالرمز 0 وهو وحيد، و [1 , 1]هو المحايد لعملية الضرب، ويُرمز له بالرمز 1 وهو وحيد أيضاً. يوجد لكلنظير لعملية الجمع، وهو ، كما يوجد له نظير (مقلوب) لعملية الضرب، وهو شريطة أن يكون ، وكلا النظيرين وحيد. يتبين مما سبق أن (Q , + , ×) تشكل حقلاً field. بافتراض ، يمكن تعريف عملية الطرح وعملية القسمة على Q بالعلاقتين (7) و (8): وذلك شريطة أن يكون . إن كلاًّ من عمليتي الطرح والقسمة المبينتين بالعلاقتين (7) و (8) ليست تجميعية ولا تبديلية. بافتراض ، تكون العلاقة المعرَّفة على Q على النحو الآتي: - إذا وفقط إذا كان - علاقة ترتيب كلي على Q. إن حلقة الأعداد الصحيحة Z مُضَمَّنة embedded في حقل الأعداد المُنْطَقة Q؛ أي إن Q تحوي حلقة جزئية تماثل الحلقة Z، حيث إن التطبيق المعرّف - لكل zمن Z - بالعلاقة يكون تشاكلاً homomorphism ومتبايناً. ويسمى Q عادة حقل النسب. بافتراض فإن إذا وفقط إذا كان . بافتراضعددين مُنْطَقين بحيث ، يوجد عدد مُنْطَق z يحقق . في حين لا يمكن في Q إيجاد عدد مُنْطَق مثل r بحيث يكون r2 = 2. إذا كان ، تُعرَّف القيمة المطلقة absolute value للعدد x - التي يُرمز لها بالرمز |x| - بالعلاقة (9): ويكون لكل. إيمان الخوجة مراجع للاستزادة: - M. Artin, Algebra, Pearson, 2010. - J. A. Beachy and William D. Blair, Abstract Algebra, Waveland Press, 2006.

اقرأ المزيد »