الأعداد المُنْطَقة

التعريف الرياضي للأعداد المُنْطَقة

الخصائص الجبرية للأعداد المُنْطَقة

العدد المُنْطَق rational number عدد يمكن كتابته على الشكل  ، حيث p و q عددان صحيحان و q لا يساوي الصفر. وحيث إن q يمكن أن يساوي الواحد فإن أي عدد صحيح هو عدد مُنْطَق.

التعريف الرياضي للأعداد المُنْطَقة:

لتكن Z مجموعة الأعداد الصحيحة، ولتكن K مجموعة الثنائيات المرتَّبة والمعرّفة بالعلاقة (1):

ولتعرّف على هذه المجموعة العلاقة الثنائية  على النحو الآتي:

لأي ثنائيتين و تنتميان إلى K، يكون إذا وفقط إذا تحقق .

ويمكن للصفر أن يظهر في المُركّبة الأولى في أي ثنائية (s , m)، لكنه لا يظهر مطلقاً في المُركّبة الثانية منها.

ويُبرهن بسهولة على أن العلاقة  هي علاقة تكافؤ، ومن ثَم فهي تجزئ K إلى مجموعة صفوف تكافؤ. ويُرمز لصف التكافؤ الذي يحوي الثنائية (s, m) بالرمز [s, m] الذي يُعرّف بالعلاقة (2):

ويسمى [s, m] عدداً مُنْطَقاً (كسرياً أو نسبياً)، وتدعى الثنائية (s, m) كسراً حدّاه s و m. ويُرمز للعدد المُنْطق عادة بالرمز s/m، حيث يدعى s البسط وm المقام. وتسمى مجموعة صفوف تكافؤ العلاقة  على K مجموعة الأعداد المُنْطَقة، ويُرمز لها بالرمز Q.

الخصائص الجبرية للأعداد المُنْطَقة:

ليكنأي إن x يقابل [s, m] حيث . يقال عن x إنه موجب إذا وفقط إذا كان:  ويُرمز بالرمز Q⁺ للمجموعة الجزئية من Q المؤلفة من كل الأعداد المُنْطَقة الموجبة. كما يقال عن x إنه سالب إذا وفقط إذا كان . ويرمز بالرمز Q^- للمجموعة الجزئية من Q المؤلفة من كل الأعداد المُنْطَقة السالبة. وحيث إن  أو  أو ، فإن أي عدد من Qهو موجب أو سالب أو صفر.

بافتراض  ، تُعرّف عمليتا الجمع والضرب على Q بالعلاقتين (3) و (4):

تُعرَّف كل عملية جيداً في Q، وكلٌّ منهما تبديلية وتجميعية، وتقبل عملية الضرب التوزيع على الجمع. وتتحقق لكل  العلاقتان (5) و (6):

أي إن [0 , 1] هو المحايد لعملية الجمع ويُرمز له بالرمز 0 وهو وحيد، و [1 , 1]هو المحايد لعملية الضرب، ويُرمز له بالرمز 1 وهو وحيد أيضاً.

يوجد لكلنظير لعملية الجمع، وهو  ، كما يوجد له نظير (مقلوب) لعملية الضرب، وهو  شريطة أن يكون ، وكلا النظيرين وحيد. يتبين مما سبق أن (Q , + , ×) تشكل حقلاً field.

بافتراض  ، يمكن تعريف عملية الطرح وعملية القسمة على Q بالعلاقتين (7) و (8):

وذلك شريطة أن يكون  . إن كلاًّ من عمليتي الطرح والقسمة المبينتين بالعلاقتين (7) و (8) ليست تجميعية ولا تبديلية.

بافتراض  ، تكون العلاقة  المعرَّفة على Q على النحو الآتي: - إذا وفقط إذا كان  - علاقة ترتيب كلي على Q.

إن حلقة الأعداد الصحيحة Z مُضَمَّنة embedded في حقل الأعداد المُنْطَقة Q؛ أي إن Q تحوي حلقة جزئية تماثل الحلقة Z، حيث إن التطبيق  المعرّف - لكل zمن Z - بالعلاقة يكون تشاكلاً homomorphism ومتبايناً. ويسمى Q عادة حقل النسب. بافتراض  فإن  إذا وفقط إذا كان .

بافتراضعددين مُنْطَقين بحيث ، يوجد عدد مُنْطَق z يحقق . في حين لا يمكن في Q إيجاد عدد مُنْطَق مثل r بحيث يكون r² = 2.

إذا كان ، تُعرَّف القيمة المطلقة absolute value للعدد x - التي يُرمز لها بالرمز |x| - بالعلاقة (9):

ويكون لكل.

إيمان الخوجة