التكامل
تكامل
Integral -
سلام الحايك
خواص التكامل المحدَّد التكامل غير المحدَّد
مبرهنة القيمة الوسطى في التكامل المحدَّد حساب التكامل
النظرية الأساسية في التكامل . أهم تطبيقات التكامل
التكاملintegral غرض (كائن) رياضي يمكن تفسيره على أنه مساحة area أو تعميم للمساحة. تشكل التكاملات مع المشتقات derivatives الأغراض الرئيسة للحساب calculus.
يعدّ علم التكامل integration بنوعيه المحدَّد وغير المحدَّد من المفاهيم المهمَّة في التحليل الرياضي التقليدي، وكان الرياضي كوشي Cauchy أول من أعطى التعريف الدقيق للتكامل المحدَّد كنهاية لمجاميع تكاملية في عام 1821، ثم تطور هذا العلم وتطبيقاته المختلفة في الفيزياء والرياضيات والميكانيك، ومن أهمها حساب المساحات والحجوم للأشكال المختلفة.
بفرض أن 
هو منحني الدالة 
المستمرة على المجال 
، ولتكن 
تجزئة ما لهذا المجال بحيث 
، و
مقدار موجب صغير، يمكن إنشاء على كل مجال 
مستطيل ارتفاعه 
حيث 
، فيكون حاصل ضرب 
مساوياً مساحة هذا المستطيل. ومن ثمَّ بأخذ أي نقطة 
من أجل 
يجري الحصول على مجموع مساحات المستطيلات، والذييدعى مجموع ريمان Riemann sum، ويُعطى بالعلاقة (1).
 |
ويبيّن الشكل (1) تمثيلاً لحساب التكامل المحدَّد وفق مفهوم ريمان.
 |
| الشكل (1) حساب التكامل المحدَّد وفق مفهوم تكامل ريمان. |
بفرض وجود عدد حقيقي k بحيث تتحقق الخاصية: من أجل أي عدد 
ثمة عدد 
بحيث يكون 
، عندئذ يقال إن الدالة (التابع) 
قابلة للمكاملة بحسب مفهوم ريمان على المجال 
، ويُطلق على العدد k اسم تكامل ريمان للدالة 
. ويعبر الرمز 
عن مساحة المنطقة تحت المنحني 
من 
إلى 
ويُدعى بتكامل 
ضمن المجال . بفرض 
دالة مستمرة على المجال 
، وبفرض 
دالة أصلية للدالة 
على هذا المجال، عندئذ يُعرّف التكامل المحدَّد definite integral 
بالعلاقة (2).
 |
يبيّن الجدول (1) أهم خواص التكامل المحدد.
الجدول (1) بعض خواص التكامل المحدد.
|
مبرهنة القيمة الوسطى في التكامل المحدَّد
لتكن الدالة 
مستمرة على المجال 
، عنئذٍ توجد النقطة 
التي تحقق العلاقة (3)، وتسمى هذه الخاصية مبرهنة القيمة الوسطىmean value .
 |
يعبر عن الشق الأول للنظرية بالآتي: إذا كانت 
دالة مستمرة على المجال 
عندئذ تكون 
دالةمستمرة على المجال 
وقابلة للاشتقاق على 
بحيث يكون: 
أما الشق الثاني فهو: إذا كانت 
دالّة مستمرة على المجال 
، وكانت 
هي الدالة الأصلية للدالة 
على المجال 
عندئذيكون:
.
يكون التكامل غير محدَّد indefinite إذا كان أحد أطراف التكامل عدداً يسعى إلى اللانهاية، وعندئذ يكون المنحني قريباً جداً من المحور. فإذا كانت 
دالة مستمرة على المجال 
؛ تكون مجموعة الدَوال الأصلية لها من الشكل : 
، حيث 
ثابت اختياري.
يبيّن الجدول (2) بعض الصيغ الأساسية لحساب التكامل.
لا يمكن في الغالب إيجاد التابع الأصلي للتابع مباشرة ، لذلك تُستخدم بعض الطرائق منها:
1- التكامل المحدَّد بالتعويض
لتكن 
هي دالّة ذات مشتق مستمر على المجال 
، ولتكن 
دالة مستمرة على المجال 
، وبفرض 
عندئذ تكون العلاقة (4) محققة.
 |
2- التكامل المحدَّد بالتجزئة
تستخدم هذه الطريقة لمكاملة مقدار يتألف من جداء عاملين 
، بحيث يمكن حساب 
بمكاملة 
، ومن ثم حساب التكامل 
، وتُطبق عندها العلاقة (5).
 |
حيث إنهلكل من الدّالّتين 
مشتق مستمر على المجال 
.
ثمة الكثير من تطبيقات التكامل في حساب المساحات والحجوم، منها:
1 - حساب طول منحنٍ أملس
ليكن 
منحني الدالة 
المستمرة على المجال 
(الشكل 2)، وبفرض أن المنحني 
أملس (أي إن الدالة 
لها مشتق مستمر على 
)، يعطى طول القوس 
بالعلاقة (6).
 |
 |
الشكل (2) حساب طول منحنٍ أملس. |
2 - حساب مساحة سطح محدود
ليكن 
منحني الدالة 
المستمرّة على المجال 
، يجري تمييز الحالات الآتية:
أ- إذا كان 
؛ فإن مساحة السطح المحدَّد بالمنحني 
والمحور 
والمستقيمين 
(الشكل 3) تعطى بالعلاقة (7).
 |
 |
| الشكل (3) حساب مساحة سطح محدود يقع فوق محور الفواصل. |
ب- إذا كان 
؛ فإن مساحة السطح المحدَّد بالمنحني 
والمحور 
والمستقيمين 
(الشكل 4) تعطى بالعلاقة (8).
 |
 |
| الشكل (4) حساب مساحة سطح محدود يقع تحت محور الفواصل. |
جـ- إذا كان 
يقطع المحور ؛ فإن مساحة السطح المحدَّد بالمنحني 
والمحور 
والمستقيمين 
و 
(الشكل 5) تعطى بالعلاقة (9).
 |
 |
| الشكل (5) حساب مساحة سطح محدود يقطع محور الفواصل. |
د- إذا كان 
منحني الدالة 
المستمرّة على المجال 
, وكان 
منحني الدالة 
المستمرّة على المجال 
، وكان
؛ فإن مساحة السطح المحصور بين المنحنيين 
و 
والمستقيمين 
و 
(الشكل 6) تعطى بالعلاقة (10).
 |
 |
| الشكل (6) حساب مساحة سطح محدود بين منحنيين. |
3- حساب حجم جسم صلب
بفرض منطقة فراغية محدودة بالسطح الفراغي المغلق 
(الشكل 7)، إذا قُطعت هذه المنطقة الفراغية بمستوٍ يوازي 
يتشكل مقطع ما وليكن 
والذي يتغير بتغيّر المستوي القاطع، وتتغير مساحة هذا المقطع بتغير
، ومن ثمَّ فهي دالة للمتحول حيث 
. يُرمز إلى مساحة المقطع 
بالرمز
، ولتكن الدالة 
مستمرة على المجال 
، يُعطى حجم المنطقة الفراغية بالعلاقة (11).
 |
 |
| الشكل (7) حساب حجم جسم صلب. |
4- حساب حجم مجسَّم دوراني
بفرض الحالتين الآتيتين:
أ- ليكن
منحني الدالة 
المستمرة على المجال 
، يعطى حجم المجسَّم الناتج من دوران المنطقة المحدَّدة بالمنحني 
مع المستقيمين 
و 
حول 
(الشكل 8) بالعلاقة (12).
 |
 |
| الشكل (8) حساب حجم جسم ناتج من دوران منحنٍ حول محور الفواصل. |
ب. ليكن 
منحني الدالة 
المستمرة على المجال 
، وليكن 
منحني الدالة 
المستمرة على المجال 
، وبفرض أن 
أياً كان 
، يعطى حجم المجسم الناتج من دوران المنطقة المحدَّدة بالمنحنيين 
و
مع المستقيمين 
و 
حول 
(الشكل 9) بالعلاقة (13).
 |
 |
الشكل (9) حساب حجم المنطقة المحصورة بين منحنيين والناتجة من دورانهما حول محور الفواصل. |
مراجع للاستزادة: - S. Mishra, Fundamental of Mathematics Integral Calculus, Pearson, 2017. - G. Paltineanu et al., Integral Calculus for Engineers, Springer, 2022. - C. Polanco, Differential and Integral Calculus Theory and Cases, Bentham Books, 2020.
|
- التصنيف : تقانات الفضاء والفلك - النوع : تقانات الفضاء والفلك - المجلد : المجلد التاسع، طبعة 2025، دمشق مشاركة :
اخترنا لكم
المجلدات الصادرة عن موسوعة العلوم والتقانات
