توازن الموائع

  محمد سعيد محاسنة

يعدّ توازن الموائع fluid statics جزءاً من دراسة ميكانيك الموائع، فهو يدرس صفات الموائع الساكنة، في حين يدرس الجزء الآخر القوانين المتعلقة بتحريك الموائع fluid dynamics، أي الموائع المتحركة. ويشمل مصطلح الموائع المواد التي ليس لها  شكل خاص بها، فيتغير شكل حدودها وفق أوعية احتوائها، وهي أيضاً المواد التي لا تتحمل تطبيق قوة قص  shear forceوبالتالي فهي المواد القابلة للجريان؛ وتشمل السوائل والغازات. وتعدّ دراسة السوائل ولا سيما الماء، مثالاً نموذجياً لذلك، ويطلق على هذا الجزء من ميكانيك الموائع اسم التوازن المائي hydrostatics أيضاً. وتستخلص معظم الصفات التوازنية من دراسته.

تساعد دراسة توازن الموائع على فهم كثير مما يصادف في الحياة اليومية، مثل الضغط الجوي والتنبؤ بالطقس، وبناء السدود، وبناء السفن، وتقنيات الطيران وفي الطب (ضغط الدم). وتوازن الموائع أيضاً هو الحالة الابتدائية عند بدء تطبيق القوى لتحريكها؛ مما يسهم في فهم التقدم الهائل في علوم الطيران العادي والنفاث، والصواريخ، والسواتل والسفن الفضائية.

عرفت المفاهيم الأولى لتوازن الموائع منذ ما قبل الميلاد وحضارة ما بين النهرين، نظراً لحاجة شعوبها إلى القوارب وما يحكم طفوها، فعد اكتشاف أرخميدس Archimedes في القرن الثالث قبل الميلاد لقانون قوة الطفو من الاكتشافات المهمة. ومن المفاهيم التي تبلورت بعد ذلك مفاهيم الكثافة، والضغط الناتج من الموائع وفيها وتغيّره مع الارتفاع.

الكثافة

الكثافة density سمة مميزة للمواد جميعها الصلبة والمائعة، لكنها في الموائع ليست ثابتة وقد تتغير. ففي المواد المتجانسة تعرف الكثافة بأنها كتلة واحدة الحجم:، حيث m  كتلة حجم من المادة قدره V، وواحدتها في الجملة الدولية، فيمكن لكتلة من المائع نفسها أن تأخذ حجوماً متفاوتة بسهولة، في حين يكون الحصول على مثل هذا التغيّر للأجسام الصلبة صعباً.

الضغط في السوائل

خلافاً لما هو عليه في الأجسام الصلبة؛ حيث يمكن تطبيق القوى بأي اتجاه بالنسبة إلى السطح، ويبدي الجسم الصلب عندئذٍ مقاومة لهذه القوى، فإن السوائل تقاوم القوى الناظمية على سطح السائل فقط. ويعود السبب إلى أن السوائل في حالة السكون لاتستطيع نقل قوة مماسية بأمانة والحفاظ عليها. إذ تنزلق طبقات السائل المختلفة بعضها فوق بعض بسهولة عند تطبيق قوة مماسية عليه.

 فمن المعتاد لهذا السبب استعمال الضغط المؤثر في السائل مكان القوة. ويعرف الضغط P بأنه  مقدار القوة الناظمية المؤثرة في واحدة السطح من السائل. فإذا أثرت القوة  ناظمياً في السطح  فإن الضغط Pهو كما في المعادلة (1):

وإذا كانت القوة ثابتة على السطح كله A وهي تؤثر ناظمياً فيه فإن (المعادلة 2):

وتدعى واحدة الضغط في الجملة الدولية الباسكال

الشكل (1).

يبين الشكل (1) وعاء يحوي سائلاً بحالة توازن، ويتخيل بداخله عنصر صغير من السائل على شكل قرص سماكته، على ارتفاع من قاعدة الوعاء قدره y. إن القوى المؤثرة في القرص في كل نقطة منه هي عمودية عليه. وبما أن القرص السائلي متوازن فإن مجموع مركبات القوى بالاتجاهX معدومة ، ومجموع مركبات القوى بالاتجاه Yمعدومة أيضاً، ولا يوجد أي تسارع. يؤثر في الاتجاه العمودي   Yالقوى من أسفل القرص باتجاه الأعلى القوة PA، ومن أعلى القرص باتجاه الأسفل القوتان  ووزن القرص ؛ لذا معادلة التوازن هي المعادلة (3):

ومنها المعادلة (4):    

 وبما أن كثافة السائل ضمن القرص ثابتة وتسارع الجاذبية الأرضية كذلك فإن تزايد y بقدر يقابله تناقص الضغط بقدر ، بحيث تبقى النسبة ثابتة. وتؤول المعادلة (3) إلى المعادلة (5):

الشكل (2).

يكون للسائل سطحٌ حرٌ عادة، والضغط عنده هو الضغط الجوي (الشكل 2)،  وبالتالي يمكن كتابة المعادلة (5) كما في المعادلة (6):

حيث P الضغط عند نقطة تبعد مسافة h عن أسفل الوعاء.

وقد صمم الفيزيائي والرياضياتي الإيطالي توريشلّي  E.Torricelli (1643) مقياساً زئبقياً للضغط يكون فيه ، وبالتالي تصبح المعادلة (5) المعادلة (7):

حيث كثافة الزئبق.

إن الفراغ فوق عمود الزئبق خالٍ باستثناء كمية مهملة من بخار الزئبق، يدعى هذا الفراغ خلاء توريشلّي. بالعودة إلى العلاقة (6)، حيث الضغط P هو الضغط المطلق والفرق بين الضغط المطلق والضغط الجوي هو الضغط القياسي (gauge) _gP، وقد يكون هذا الضغط أعلى أو أقل من الضغط الجوي. وأبسط مقياس ضغط هو المقياس ذو الأنبوبة المفتوحة الظاهر في الشكل (3).

الشكل (3).

فعند قياس الضغط داخل الحبابة يتضح أنه عند التوازن يكون كلا الضغطين عند النقطتين 1و2 متعادلاً، أي كما في المعادلة (8):

ومنها المعادلة (9):

بقياس فرق الارتفاع h ومعرفة كثافة السائل المستخدم في المقياس و فإن الجداء يعطي الضغط المقيس.

مبدأ باسكال

يمكن إثبات أن الضغط المؤثر في سائل في أي اتجاه هو نفسه. يظهر الشكل (4) عنصراً صغيراً من سائل على هيئة موشور قائم ثلاثي، فإذا كانت الضغوط الموجهة ناظمياً على أوجهه الثلاثة هي  P_x, P_y, P_sفإن محصلة القوى المؤثرة، وفق شرط التوازن، ووفق أي اتجاه تساوي الصفر، فإسقاط القوى الناتجة من الضغوط  P_x, P_sو  P_yعلى المحور  Xتكون المعادلة (10):     

الشكل (4).

ومن الشكل تنتج المعادلة (11):

وبما أن عناصر صغيرة تكون المعادلة (12):

وبصورة مشابهة يمكن وفقاً للاتجاه  Yكتابة المعادلة (13):     

حيث weight وزن الموشور (المعادلة 14):

ولصغر الجداء بالمقارنة و يمكن إهمال الحد الأخير لأن الحدود كلها عناصر متناهية  الصغر؛ لذا تؤول المعادلة الأخيرة إلى المعادلة (15):

إذاً (المعادلة 16):    

 إن هو الضغط على المستوى المائل في الموشور بأي زاوية ، وكذلك في أي اتجاه، كما يمكن عد الموشور لصغره نقطة، وبالتالي فإن العبارة المستنتجة تدل على أن الضغط في أي نقطة هو نفسه في الاتجاهات جميعها. وهذا يعرف  بمبدأباسكالالذي يصح في السوائل الساكنة، نسبة إلى الفرنسيBlaise Pascal  ذي الاهتمام بالرياضيات والفيزياء والفلسفة. ويصاغ هذا المبدأ بصورة أخرى: الضغط المطبق في سائل محصور ينتقل من دون تغيير إلى كل جزء من أجزاء السائل وجدران الوعاء الذي يحويه. يوضح الشكل (5) النص الأخير مع استعماله في مبدأ المكبس الهدروليكي hydraulic piston. فالمكبس الصغير المقطع يخضع مباشرة لقوة تؤثر في السائل. إن الضغط ينتقل تدريجياً من دون تغيير عبر الوصلة العرضية إلى الأسطوانة العريضة المزودة بمكبس آخر مساحة مقطعه A. والضغط في الفرعين هو ذاته بحسب مبدأ باسكال (المعادلة 17):

الشكل(5).

 إن تطبيقات هذا المبدأ كثيرة، منها رافعة السيارات (الشكل 6)، والكوابح الهدروليكية، وكرسي طبيب الأسنان.

الشكل(6).

مبدأ أرخميدس

يمكن باستعمال مبدأ باسكال استنتاج مبدأ أرخميدس المشهور الذي كان يصاغ كلامياً في عهد هذا العالم اليوناني الذي كان له اهتمام بالرياضيات والفيزياء والهندسة والفلك. إن حجم جزء من سائل V محدد كما في الشكل (7)، تؤثر فيه قوىً في جميع الاتجاهات يكون متوازناً كأي جزء آخر من السائل؛ لذا محصلة  القوى الأفقية معدومة   في حين يؤثر في الاتجاه الشاقولي وزن السائل المحصور بالحجم V وهو ، وتتجه هذه القوة نحو الأسفل إضافة إلى القوى الناجمة عن تغير الضغط في السائل الذي يتوازن مع القوة بالاتجاه المعاكس نحو الأعلى، وكلتاهما مطبقتان عند مركز الثقلC.G.)Centre of Gravity (.

الشكل(7).

فإذا  أزيح الحجم V من السائل بوضع جسم صلب له الشكل والحجم نفسهما لكن بكثافة قدرها فإن الجسم الصلب يؤثر بثقله نحو الأسفل ، وتبقى القوة التي تؤثر في الجسم الصلب من جهة السائل نفسها وتسمى القوة الدافعة أو قوة الطفو buoyancy force، وتساوي هذه القوة وزن السائل المزاح، وعندئذٍ تكون القوة المحصلة المؤثرة في الجسم المغمور في السائل كما في المعادلة (18):   

يلاحظ من هذه العلاقة أنه إذا كان فسيكون الجسم في حالة توازن، أما إذا كان فإن F تؤثر نحو الأسفل والجسم سيغرق، وأما إذا كان فإن اتجاه القوة F  سيكون للأعلى  والجسم سيصعد بالاتجاه نفسه ويغمر بشكل جزئي ويعوم.

وقد صاغ أرخميدس مبدأه الشهير على النحو التالي:

إذا غمر جسم كلياً أو جزئياً في سائل فإنه يطفو بتأثير قوة شاقولية تساوي وزن السائل المزاح (الشكل 8).

الشكل (8).

يدعى مركز قوة الدفع بمركز الطفو(الدفع)، ويطابق مركز الثقل إذا كان الجسم متجانساً، وإذا لم يكن متجانساً فإن قوتي الثقالة والدفع تشكلان مزدوجة تسبب دوران الجسم الصلب.

تطبيقات توازن الموائع

في السدود يُملأ ماء بارتفاع H خلف سد إسمنتي عرضه w  (الشكل 9)، تعين القوة المحصلة المؤثرة من جهة الماء في السد بحساب تأثير ضغطه، لكن الضغط يتغير مع الارتفاع، ولا يمكن حساب القوة من جداء الضغط بالسطح؛ لذلك تحلّ بأخذ شرائط أفقية باستخدام المعادلة (19):

الشكل(9).

تحسب القوة dF المطبقة على شريط أفقي ضيق عند العمق h، ومن ثم تكامل العبارة لإيجاد القوة الكلية. يؤخذ  المحور Yباتجاه الشاقول للأعلى، وy=0 عند قاع السد والشريط الأفقي يبعد عن القاع مسافة y. باستخدام العلاقة: يحسب الضغط عند العمق h، مع إهمال الضغط الجوي لأنه يؤثر في كلتا جهتي السد.

تغير الضغط مع الارتفاع

 يتغير الضغط شاقولياً عند المقطع   Aلسائل متوازن تحت تأثير الجاذبية، فإذا أخذ عنصر من سائل على هيئة أسطوانة شاقولية مساحة مقطعها   A ومحاطة بالسائل نفسه الذي كثافته(الشكل 10) فإن الضغط عند قاعدة الأسطوانة عند السوية هو ، و عند السوية للقاعدة العليا للأسطوانة. في حالة توازن السائل تكون محصلة القوى في الاتجاه الشاقولي تساوي الصفر. وباتخاذ الاتجاه للأعلى وهو الاتجاه الموجب تكون المعادلة (20):

ومنها المعادلة (21): 

وهذا يعني أن الضغط يتناقص مع ازدياد الارتفاع (المعادلة 22):   

الشكل (10).

أما إذا كان العنصر السائلي أسطوانة أفقية (الشكل 11) ذات مقطع  A، والضغط على القاعدة اليسرى  والضغط على القاعدة اليمنى ، فعند التوازن، تكون محصلة القوى المؤثرة أفقياً في الاتجاهX  معدومة، أي إن: وبالتالي ، وهذا يعني أن الضغط في الاتجاه الأفقي ثابت.

الشكل (11).

وهذه النتيجة تبقى ذاتها من أجل أي سائل مستمر في خزانين مختلفين بالمقطع موصولين بأنبوب عرضي كما في الشكل (12). إذ يمكن تطبيق المعادلة (21) في الحالتين، وبسبب كون الارتفاع نفسه تكتب المعادلة (23):

الشكل(12).

والمعادلة (24)    

والنتيجة هي المعادلة (25):   

أي إن الضغط عند السويتينP  و هو نفسه. ويستفاد من هذه النتيجة عند استعمال رافعة السيارات.

يعمم ما سبق في حالة أسطوانة مائلة (الشكل 13) مولّدها طوله ومقطعهاA  موجودة في سائل متوازن كثافته .

الشكل (13).

قيمة الضغط عند القاعدة ذات الارتفاع هو  P، وقيمة الضغط عند القاعدة ذات الارتفاع هو ، وتكون القوى المؤثرة  في العنصر الأسطواني هي:

 PAالقوة المؤثرة العمودية على نهاية الوجه الذي يبعد عن سوية اعتبارية بقدر، و   القوة المؤثرة العمودية عند نهاية الوجه الذي يبعد عن السوية الاعتبارية نفسها ، و وزن العنصر الأسطواني المفروض، والقوى المؤثرة في أطراف العنصر. وفي حالة توازن العنصر تكون محصلة القوى في أي اتجاه تساوي الصفر. وبتحليل القوى باتجاه المحور المركزي للأسطوانة تكون المعادلة (26):

أو تُكتب بصيغة تفاضلية كما في المعادلة (27):

إذا كانت فإن S يأخذ اتجاه X أوY، أي إن العنصر بوضع أفقي، ووزن العنصر يؤثر شاقولياً إلى الأسفل كما في المعادلة (28):

أي إن الضغط باتجاه المستوي الأفقي هو ثابت.

وإذا كانت فإن S يأخذ اتجاه الشاقول Z، وبالتالي تكون المعادلة (29):     

وتكون النتيجة كما في المعادلة (30):      

 أو المعادلة (31):       

أي إن الضغط يتناقص مع ازدياد الارتفاع. تفيد هذه الدراسة في حساب قوة أرخميدس لأجسام مختلفة الأشكال، فيجزأ الشكل إلى عناصر سطحية تفاضلية متناهية الصغر، وتحسب القوة المؤثرة في هذا العنصر الناجمة عن الضغط، ثم تجمع القوى المؤثرة في الجسم بإجراء تكامل على سطح الجسم للحصول على قوة تدعى قوة التعويم أو الطفو، ولهذه الحسابات أهمية كبيرة في صناعة السفن واستقرارها. وتستعمل الصيغة التفاضلية لحساب الضغط الجوي وتغيره مع الارتفاع.